Question

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji. Daje naj

Answer 1

[tex]f(x,y)=x^2+xy^3+3y^2\\\\\text{Obliczasz pochodne odpowiednio w odniesieniu do x i y}\\\\\begin {cases}\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^3=0\\\frac{\partial f}{\partial y} = 3xy^2+6y=0\end {cases}\\\text{Z pierwszego rownania wyznacz:}\\[/tex]

[tex]x=-\frac{1}{2}y^3\\\\\text{Podstawiajac za x:}\\-\frac{3}{2}y^5+6y=0\\-3y(\frac{1}{2}y^4-2)=0\\y=0 \quad \vee \quad y=\pm \sqrt{2}\\\\\text{Podstawiamy spowrotem y do rownania na x }\\\begin{cases}x=-\frac{1}{2}*2*(-\sqrt{2})=\sqrt{2}, \quad dla\enspace y = -\sqrt{2}\\x=0, \quad dla\enspace y = 0\\x=-\frac{1}{2}*2*\sqrt{2}=-\sqrt{2}, \quad dla\enspace y = \sqrt{2}\end{cases}\\\\\text{Mozliwe punkty to:} \quad(\sqrt{2}, -\sqrt{2}),(0,0),(\sqrt{2},-\sqrt{2})\\[/tex]

[tex]\text{Teraz podstawiamy wartosci do funkcji}\\f(\sqrt{2},-\sqrt{2})=4\\f(0,0)=0\\f(-\sqrt{2},\sqrt{2})=4\\\text{Funkcja ma trzy wierzcholki, z ktorych dwa maja taka sama wartosc}\\\\\begin{cases}f_{max}=4\\f_{min}=0\end{cases}[/tex]