Wyznaczanie dziedziny funkcji polega na znalezieniu wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona. W tym przypadku mamy funkcję:
f(x) = logx (x^2 + 9x + 14) / (x^2 - 4)
Ponieważ logarytm działa tylko na wartości dodatnie, to musimy upewnić się, że zarówno licznik, jak i mianownik ułamka są dodatnie. Zaczniemy od licznika:
x^2 + 9x + 14 > 0
Aby rozwiązać nierówność kwadratową, możemy skorzystać z metody iloczynowej:
(x + 2)(x + 7) > 0
Wynik tej nierówności to (–∞, –7) ∪ (–2, +∞). Oznacza to, że licznik ułamka jest dodatni dla x należącego do przedziału (–∞, –7) ∪ (–2, +∞).
Teraz zajmiemy się mianownikiem:
x^2 - 4 ≠ 0
Mianownik jest równy zeru dla x = –2 i x = 2, więc te wartości nie należą do dziedziny funkcji. Pozostałe wartości x są dopuszczalne, więc dziedzina funkcji to przedział (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞).
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji, należy znaleźć wartości x, dla których funkcja jest określona. Dlatego musimy upewnić się, że zarówno licznik, jak i mianownik ułamka są dodatnie.
Zaczynamy od licznika: x^2 + 9x + 14 > 0. Aby rozwiązać nierówność kwadratową, możemy skorzystać z metody iloczynowej: (x + 2)(x + 7) > 0. Wynik tej nierówności to przedział (-∞, -7) ∪ (-2, +∞). Oznacza to, że licznik ułamka jest dodatni dla x należącego do przedziału (-∞, -7) ∪ (-2, +∞).
Teraz zajmiemy się mianownikiem: x^2 - 4 ≠ 0. Mianownik jest równy zeru dla x = –2 i x = 2, więc te wartości nie należą do dziedziny funkcji. Pozostałe wartości x są dopuszczalne, więc dziedzina funkcji to przedział (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞).
1 votes Thanks 0
Niki268
Czemu w mianowniku jest przyrównanie do 0 a nie do 1
misielecjandy2008
W mianowniku funkcji f(x) = logx[(x^2 + 9x + 14)/(x^2 - 4)] mamy wyrażenie (x^2 - 4) w mianowniku, a nie 1, ponieważ to jest wyrażenie, które po uproszczeniu pojawia się w mianowniku, gdy skracamy ułamki. W tym przypadku, mianownik (x^2 - 4) musi być różny od zera, ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone. Stąd wynika, że dziedziną funkcji f(x) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których x nie jest równy 2 lub -2.
Odpowiedź:
Wyznaczanie dziedziny funkcji polega na znalezieniu wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona. W tym przypadku mamy funkcję:
f(x) = logx (x^2 + 9x + 14) / (x^2 - 4)
Ponieważ logarytm działa tylko na wartości dodatnie, to musimy upewnić się, że zarówno licznik, jak i mianownik ułamka są dodatnie. Zaczniemy od licznika:
x^2 + 9x + 14 > 0
Aby rozwiązać nierówność kwadratową, możemy skorzystać z metody iloczynowej:
(x + 2)(x + 7) > 0
Wynik tej nierówności to (–∞, –7) ∪ (–2, +∞). Oznacza to, że licznik ułamka jest dodatni dla x należącego do przedziału (–∞, –7) ∪ (–2, +∞).
Teraz zajmiemy się mianownikiem:
x^2 - 4 ≠ 0
Mianownik jest równy zeru dla x = –2 i x = 2, więc te wartości nie należą do dziedziny funkcji. Pozostałe wartości x są dopuszczalne, więc dziedzina funkcji to przedział (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞).
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji, należy znaleźć wartości x, dla których funkcja jest określona. Dlatego musimy upewnić się, że zarówno licznik, jak i mianownik ułamka są dodatnie.
Zaczynamy od licznika: x^2 + 9x + 14 > 0. Aby rozwiązać nierówność kwadratową, możemy skorzystać z metody iloczynowej: (x + 2)(x + 7) > 0. Wynik tej nierówności to przedział (-∞, -7) ∪ (-2, +∞). Oznacza to, że licznik ułamka jest dodatni dla x należącego do przedziału (-∞, -7) ∪ (-2, +∞).
Teraz zajmiemy się mianownikiem: x^2 - 4 ≠ 0. Mianownik jest równy zeru dla x = –2 i x = 2, więc te wartości nie należą do dziedziny funkcji. Pozostałe wartości x są dopuszczalne, więc dziedzina funkcji to przedział (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞).