Question

prosze o pomoc!
Matematyka rozszerzona/wyższa.
Prosze zrobic dobrze!​

Answer 1

Rozwiązanie:

Funkcja:

[tex]$f(x)=\Big|\frac12x+2\Big|+\Big|\frac32x-3\Big|-5[/tex]

[tex]\bold{a)}[/tex]

Miejsca zerowe funkcji pod modułami:

[tex]$\frac12x+2=0 \iff x=-4[/tex]

[tex]$\frac32x-3=0 \iff x=2[/tex]

Zatem będziemy analizowali następujące przypadki:

[tex]x < -4, \ -4 \leq x < 2, \ x \geq 2[/tex]

[tex]\bold{1^{\circ}} \ \ x < -4[/tex]

[tex]$f(x)=-\Big(\frac12x+2\Big)-\Big(\frac32x-3\Big)-5=-2x-4[/tex]

[tex]\bold{2^{\circ}} \ \ -4 \leq x < 2[/tex]

[tex]$f(x)=\frac12x+2-\Big(\frac32x-3\Big)-5=-x[/tex]

[tex]\bold{3^{\circ}} \ \ x \geq 2[/tex]

[tex]$f(x)=\frac12x+2+\frac32x-3-5=2x-6[/tex]

Ostatecznie:

[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-2x-4 \ \text{dla} \ x < -4\\-x \ \text{dla} -4 \leq x < 2\\2x-6 \ \text{dla} \ x \geq 2\end{array}\right[/tex]

[tex]\bold{b)}[/tex]

Wykres funkcji w załączniku.

[tex]\bold{c)}[/tex]

Z poprzedniego podpunktu możemy odczytać zbiór wartości funkcji [tex]f[/tex]:

[tex]f(D_f): \langle -2, \infty)[/tex]

Dla funkcji [tex]g(x)=|f(x)|-3[/tex] będzie to zatem:

[tex]g(D_g):\langle -3, \infty)[/tex]

[tex]\bold{d)}[/tex]

Należy zauważyć, że:

[tex]$h(x)=\frac{|f(x)|}{f(x)}=\text{sgn}(f(x)), \ x \neq 0 \wedge x \neq 3[/tex]

gdzie [tex]\text{sgn}(f(x))[/tex] reprezentuje funkcję signum.

Z wykresu z podpunktu [tex]\bold{b)}[/tex] łatwo odczytać, że [tex]f(x) < 0[/tex] dla [tex]x \in (0,3)[/tex] oraz [tex]f(x) > 0[/tex] dla [tex]x \in (-\infty,0) \cup (3,\infty)[/tex]. W związku z tym:

[tex]$h(x)=\left \{ {{1 \ \text{dla} \ x \in (-\infty,0) \cup (3,\infty)} \atop {-1 \ \text{dla} \ x \in (0,3)}} \right.[/tex]

Wykres funkcji w załączniku.