Question

Wykres funkcji f(x)=1,6x^{2} -8x+c przecina oś OY w punkcie, którego suma współrzędnych jest równa 10. Rozwiąż równanie f(x)=10.


Wynik musi być x=0 lub x=5.


Proszę o szczegółowe rozwiązanie

Answer 1

x = 0 v x = 5

Funkcja kwadratowa. Równanie kwadratowe.

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=ax^2+bx+c\\\\a,b,c\in\mathbb{R}\ \wedge\ a\neq0[/tex]

Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa zwana parabolą.

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, to równanie, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze.

Najczęściej równanie kwadratowe rozwiązujemy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego [tex]\Delta[/tex].

[tex]ax^2+bx+c=0\\\\\Delta=b^2-4ac[/tex]

i tak, jeżeli:

• [tex]\Delta<0[/tex], to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych;
• [tex]\Delta=0[/tex], to równanie posiada jedno rozwiązanie postaci
  [tex]x_0=\dfrac{-b}{2a}[/tex];
• [tex]\Delta>0[/tex], to równanie posiada dwa różne rozwiązania postaci
  [tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\ \wedge\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]

Gdy mamy do czynienia z dwumianem kwadratowym, rozwiązywanie takiego równania nie trzeba rozwiązywać przy pomocy wyróżnika trójmianu kwadratowego:

• [tex]ax^2+bx=0\to x(ax+b)=0\iff x=0\ \vee\ ax+b=0[/tex]
• [tex]ax^2+c=0\to ax^2=-c\to x^2=-\dfrac{c}{a}\to x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

Mamy dany wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:

[tex]f(x)=1,6x^2-8x+c[/tex].

Wiemy, że wykres tej funkcji (parabola) przecina oś OY w punkcie, którego suma współrzędnych jest równa 10.

Każdy punkt leżący na osi OY ma współrzędne (0, y).

Jeżeli chodzi o wykres funkcji, to jest to wartość funkcji dla argumentu 0, czyli punkt (0, f(0)).

W związku z tym:

[tex]f(0)=1,6\cdot0^2-8\cdot0+c=c[/tex]

Zatem punkt przecięcia paraboli z osią OY ma współrzędne: (0, c).

Suma współrzędnych wynosi 10. W związku z tym mamy:

[tex]0+c=10\to c=10[/tex]

Otrzymujemy wzór funkcji:

[tex]f(x)=1,6x^2-8x+10[/tex]

Przechodzimy do równania: f(x) = 10

[tex]1,6x^2-8x+10=10\qquad|-10\\\\1,6x^2-8x=0\qquad|\cdot10\\\\16x^2-80x=0\qquad|:16\\\\x^2-5x=0[/tex]

wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

[tex]x(x-5)=0[/tex]

iloczyn jest równy 0, gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd mamy:

[tex]x(x-5)=0\iff x=0\ \vee\ x-5=0\\\\\boxed{x=0\ \vee\ x=5}[/tex]