Question

Wykorzystując twierdzenie sinusów rozwiąż trójkąt i oblicz promień okręgu opisanego:
a)a=5, b= 5√3, α=30°
b)a=7, c=14, γ=60°
jak najszybciej daje naj

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}\begin{array}{lccc}a)\\a=5,\ b=5\sqrt3,\ c=10\\\alpha=30^o,\ \beta=60^o,\ \gamma=90^o\\R=5\\\text{lub}\\a=5,\ b=5\sqrt3,\ c=5\\\alpha=30^o,\ \beta=120^o,\ \gamma=30^o\\R=5\end{array}\end{array}[/tex]

[tex]\huge\begin{array}{lccc}b)\\a=7,\ b=16,1,\ c=14\\\alpha=26^o,\ \beta=94^o,\ \gamma=60^o\\R=\frac{14\sqrt3}{3}\end{array}[/tex]

Rozwiązywanie trójkąta.

Rozwiązać trójkąt znaczy tyle, co podać długości wszystkich boków oraz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta.

Twierdzenie sinusów:

Niech dany będzie trójkąt o bokach długości [tex]a,\ b[/tex] i [tex]c[/tex] leżących naprzeciw kątów o mierze odpowiednio [tex]\alpha,\ \beta[/tex] i [tex]\gamma[/tex]. Wówczas:

[tex]\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R[/tex]

[tex]R[/tex] - długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

ROZWIĄZANIE:

Kreślimy rysunek poglądowy z oznaczeniami.

a)

[tex]a=5,\ b=5\sqrt3,\ \alpha=30^o[/tex]

Korzystamy z twierdzenia sinusów:

[tex]\dfrac{5}{\sin30^o}=\dfrac{5\sqrt3}{\sin\beta}[/tex]

Korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dostępnych w karcie wzorów:

[tex]\sin30^o=\dfrac{1}{2}[/tex]

Podstawiamy:

[tex]\dfrac{5}{\frac{1}{2}}=\dfrac{5\sqrt3}{\sin\beta}[/tex]

Mnożymy na krzyż:

[tex]5\sin\beta=\dfrac{1}{2}\cdot5\sqrt3\qquad|:5\\\\\sin\beta=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dostępnych w karcie wzorów odczytujemy miarę kąta:

[tex]\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}\to\beta=60^o[/tex]

Może być również drugie rozwiązanie. Na podstawie wzorów redukcyjnych mamy:

[tex]\sin(180^o-\alpha)=\sin\alpha[/tex]

Stąd

[tex]\sin60^o=\sin(180^o-120^o)=\sin120^o\to\beta=120^o[/tex]

Rozpatrujemy dwa przypadki:

Przypadek 1:

[tex]\alpha=30^o,\ \beta=60^o,\ a=5,\ b=5\sqrt3[/tex]

Obliczamy miarę trzeciego kąta:

[tex]\gamma=180^o-(30^o+60^o)=180^o-90^o=90^o[/tex]

Otrzymujemy, że jest to trójkąt prostokątny. W związku z tym długość trzeciego boku możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

[tex]a,b[/tex] - długości przyprostokątnych

[tex]c[/tex] - długość przeciwprostokątnej

Podstawiamy:

[tex]c^2=5^2+(5\sqrt3)^2\\\\c^2=25+25\cdot3\\\\c^2=25+75\\\\c^2=100\to c=\sqrt{100}\\\\c=10[/tex]

Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie:

[tex]\dfrac{5}{\sin30^o}=2R\\\\2R=\dfrac{5}{\frac{1}{2}}\\\\2R=5\cdot\dfrac{2}{1}\\\\2R=10\qquad|:2\\\\R=5[/tex]

Odp:

[tex]\begin{array}{lccc}a=5,\ b=5\sqrt3,\ c=10\\\alpha=30^o,\ \beta=60^o,\ \gamma=90^o\\R=5\end{array}[/tex]

Przypadek 2:

[tex]\alpha=30^o,\ \beta=120^o,\ a=5,\ b=5\sqrt3[/tex]

Obliczamy miarę trzeciego kąta:

[tex]\gamma=180^o-(30^o+120^o)=180^o-150^o=30^o[/tex]

Wnioskujemy stąd, że trójkąt jest równoramienny.

Obliczamy  długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie:

[tex]\dfrac{5}{\sin30^o}=2R\\\\2R=\dfrac{5}{\frac{1}{2}}\qquad|\cdot\dfrac{1}{2}\\\\R=5[/tex]

Odp:

[tex]\begin{array}{lccc}a=5,\ b=5\sqrt3,\ c=5\\\alpha=30^o,\ \beta=120^o,\ \gamma=30^o\\R=5\end{array}[/tex]

b)

[tex]a=7,\ c=14,\ \gamma=60^o[/tex]

Korzystamy z twierdzenia sinusów:

[tex]\dfrac{14}{\sin60^o}=\dfrac{7}{\sin\alpha}[/tex]

Korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dostępnych w karcie wzorów:

[tex]\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]

Podstawiamy:

[tex]\dfrac{14}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{7}{\sin\alpha}[/tex]

Mnożymy na krzyż:

[tex]14\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot7\\\\14\sin\alpha=\dfrac{7\sqrt3}{2}\qquad|:14\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{4}[/tex]

[tex]\dfrac{\sqrt3}{4}\approx0,433[/tex]

Wartość kąta odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dostępnych w karcie wzorów:

[tex]\sin\alpha\approx0,433\to\alpha\approx26^o[/tex]

Na podstawie wzorów redukcyjnych mamy również:

[tex]\sin(180^o-x)=\sin x[/tex]

stąd:

[tex]\sin26^o=\sin(180^o-154^o)=154^o[/tex]

Ale wówczas suma miar tych dwóch kątów przekroczyłaby 180°.

W związku z tym mamy tylko jeden przypadek.

Obliczamy miarę trzeciego kąta:

[tex]\beta=180^o-(60^o+26^o)=180^o-86^o=94^o[/tex]

Korzystając ponownie z twierdzenia sinusów obliczamy długość trzeciego boku trójkąta:

[tex]\dfrac{14}{\sin60^o}=\dfrac{b}{\sin94^o}[/tex]

Korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych oraz wzorów redukcyjnych dostępnych w karcie wzorów:

[tex]\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]

[tex]\sin94^o=\sin(180^o-86^o)=\sin86^o\approx0,9976[/tex]

Podstawiamy:

[tex]\dfrac{14}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{b}{0,9976}\qquad|\cdot0,9976\\\\b=13,9664\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}\\\\b\approx16,1[/tex]

Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie:

[tex]2R=\dfrac{14}{\sin60^o}\\\\2R=\dfrac{14}{\frac{\sqrt3}{2}}\qquad|\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\R\sqrt3=14\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3R=14\sqrt3\qquad|:3\\\\R=\dfrac{14\sqrt3}{3}[/tex]

Odp:

[tex]\begin{array}{lccc}a=7,\ b=16,1,\ c=14\\\alpha=26^o,\ \beta=94^o,\ \gamma=60^o\\R=\dfrac{14\sqrt3}{3}\end{array}[/tex]