Question

Wykonaj mnożenie. Odp pdoaj w najprostszej postaci i jak tzreba to bardzo też proszę o wypisanie założeń

ZAD 10

Answer 1

a) [tex]\huge\boxed{\dfrac{1}{x+3}\cdot\dfrac{x^2-9}{2x}=\dfrac{x-3}{2x}}[/tex]

b) [tex]\huge\boxed{\dfrac{x}{x^2+5x}\cdot\dfrac{x^2-25}{x+2}=\dfrac{x-5}{x+2}}[/tex]

c) [tex]\huge\boxed{\dfrac{4x^2-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{2x^2+x}=\dfrac{2x-1}{x^2}}[/tex]

Ułamek algebraiczny

Ułamek algebraiczny to wyrażenie postaci [tex]\dfrac{W(x)}{P(x)}[/tex], gdzie licznikiem jest wielomian [tex]W(x)[/tex], a mianownikiem jest wielomian [tex]P(x),P(x)\neq0[/tex]. Dziedziną takiego wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste, dla których [tex]P(x)\neq0[/tex].

Mnożenie ułamków algebraicznych wykonujemy podobnie, jak mnożenie ułamków zwykłych, tj. mnożymy wyrażenia oddzielnie z liczników, oddzielnie z mianowników; czasami przed wykonaniem mnożenia takie ułamki możemy skrócić "na krzyż".

Rozwiązanie:

Wykonamy kolejne działania na ułamkach algebraicznych:

a) [tex]\dfrac{1}{x+3}\cdot\dfrac{x^2-9}{2x}[/tex]

Dziedzina:

[tex]x+3\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq-3\\\\2x\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq0\\\\D=\mathbb{R}\backslash\{-3,0\}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{x+3}\cdot\dfrac{x^2-9}{2x}=\dfrac{1}{x+3}\cdot\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{2x}=\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{x-3}{2x}=\dfrac{x-3}{2x}[/tex]

b) [tex]\dfrac{x}{x^2+5x}\cdot\dfrac{x^2-25}{x+2}[/tex]

Dziedzina:

[tex]x^2+5x\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x(x+5)\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq0 \quad \wedge \quad x\neq-5\\\\x+2\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq-2\\\\D=\mathbb{R}\backslash\{-5,-2,0\}[/tex]

[tex]\dfrac{x}{x^2+5x}\cdot\dfrac{x^2-25}{x+2}=\dfrac{x}{x\left(x+5\right)}\cdot\dfrac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x+2}=\dfrac11\cdot\dfrac{x-5}{x+2}=\dfrac{x-5}{x+2}[/tex]

c) [tex]\dfrac{4x^2-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{2x^2+x}[/tex]

Dziedzina:

[tex]x^2\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq0\\\\2x^2+x\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x\left(x+\dfrac12\right)\neq0 \quad \Leftrightarrow \quad x\neq0 \quad \wedge \quad x\neq-\dfrac12\\\\D=\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac12,0\right\}[/tex]

[tex]\dfrac{4x^2-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{2x^2+x}=\dfrac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^2}\cdot\dfrac{x}{x\left(2x+1\right)}=\dfrac{2x-1}{x^2}\cdot\dfrac11=\dfrac{2x-1}{x^2}[/tex]