Question

Wykaż, że.. [ZAŁĄCZNIK] zadanie z logarytmami, prosze o wyjasnienie na podstawie wlasnosci

Answer 1

Logarytmy. Wzory skróconego mnożenia.

Do wykazania mamy równość:

[tex]\log^25+\log^22+\log5\cdot\log4=1[/tex]

Zaczynamy od lewej strony dochodząc do strony prawej:

[tex]L=\log^25+\log^22+\log5\cdot\log2^2[/tex]

Skorzystamy z twierdzenia:

[tex]\log_ab^n=n\log_ab\qquad\text{dla}\ a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

[tex]L=\log^25+\log^22+\log5\cdot2\log2=\log^25+2\cdot\log5\cdot\log2+\log^22[/tex]

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]

[tex]L=\left(\log5+\log2)^2[/tex]

Skorzystamy z twierdzenia:

[tex]\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\qquad\text{dla}\ a,b,c > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

[tex]L=\left[\log(5\cdot2)\right]^2=\left(\log10\right)^2[/tex]

Wiemy, że jeżeli w zapisie logarytmu nie ma napisanej podstawy, to jest to logarytm dziesiętny. Czyli w podstawie mamy liczbę 10.

Korzystając z:

[tex]\log_aa=1\qquad\text{dla}\ a > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

otrzymujemy

[tex]L=\left(\log_{10}10\right)^2=1^2=1\\\\P=1\\\\\huge\boxed{L=P}\qqud\qquad\qquad\blacksquare[/tex]