Question

Wykaż że zachodzi równość.
NA TERAZ DAJE NAJ I 20 PUNKTÓW ZADANIE W ZAŁĄCZNIKU​

Answer 1

Wyrażenia nie są równe.

Działania na potęgach i pierwiastkach

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie pewnej liczby przez nią samą taką ilość razy, ile wynosi wykładnik potęgi.

[tex]\huge\boxed{a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{ razy}}}[/tex]

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania - polega na odnalezieniu takiej liczby, która podniesiona do potęgi równej stopniowi pierwiastka da liczbę podpierwiastkową.

[tex]\huge\boxed{\sqrt[n]{a}=b\;\Rightarrow\;b^n=a}[/tex]

Przypomnijmy wzory działań na potęgach i pierwiastkach:

[tex]\begin{array}{lll}a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\a^n:a^m=a^{n-m}&|&a^m\neq 0\\\\a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\\\\a^n:b^n=(a:b)^n&|&b^n\neq 0\\\\(a^n)^m=a^{n\cdot m}\\\\a^{-n}=\dfrac1{a^n}&|&a^n\neq 0\\\\a^{\frac{k}n}=\sqrt[n]{a^k}&|&n > 0\\\\a^{-\frac{k}n}=\dfrac1{\sqrt[n]{a^k}}&|&\sqrt[n]{a^k}\neq 0\end{array}[/tex]

Jeżeli w mianowniku ułamka występuje pierwiastek, mamy do czynienia z niewymiernością w mianowniku - należy ją usunąć przez pomnożenie całego ułamka przez liczbę 1 w postaci ilorazu pierwiastków, które po pomnożeniu przez mianownik pozwolą pozbyć się znaku pierwiastka.

[tex]\huge\boxed{\dfrac{a}{\sqrt[n]{b^k}}=\dfrac{a}{\sqrt[n]{b^k}}\cdot \dfrac{\sqrt[n]{b^{n-k}}}{\sqrt[n]{b^{n-k}}}=\dfrac{a\sqrt[n]{b^{n-k}}}b}[/tex]

Rozwiązanie:

Dane jest równanie:

[tex]\dfrac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[4]8}=\dfrac{\sqrt[6]{32}}{\sqrt[12]{16}}[/tex]

Każdy z pierwiastków, zarówno w liczniku i mianowniku jak i po lewej czy prawej stronie równości przekształcamy do postaci potęgi liczby 2.

[tex]\dfrac{16^{\frac15}}{8^{\frac14}}=\dfrac{32^{\frac16}}{16^{\frac1{12}}}\\\\\\\dfrac{(2^4)^{\frac15}}{(2^3)^{\frac14}}=\dfrac{(2^5)^{\frac16}}{(2^4)^{\frac1{12}}}\\\\\\\dfrac{2^{\frac45}}{2^{\frac34}}=\dfrac{2^{\frac56}}{2^{\frac4{12}}}[/tex]

Wykorzystujemy wzór na iloraz potęg o równych podstawach:

[tex]2^{\frac45}:2^{\frac34}=2^{\frac56}:2^{\frac4{12}}\\\\\\2^{\frac45-\frac34}=2^{\frac56-\frac4{12}}\\\\\\2^{\frac{16}{20}-\frac{15}{20}}=2^{\frac{10}{12}-\frac4{12}}\\\\\\2^{\frac1{20}} = 2^{\frac6{12}}\\\\\\2^{\frac1{20}}\neq 2^{\frac12}[/tex]

Wyrażenia nie są równe.