Question

Wykaż że suma sześcianów 4 kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, jest liczbą podzielną przez 100.

Answer 1

Suma sześcianów czterech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5, jest liczbą podzielną przez 100.

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to wspólna nazwa dla wzorów, które pozwalają w prosty sposób przechodzić pomiędzy postacią iloczynową i sumaryczną pewnych wyrażeń.

W zadaniu skorzystamy ze wzoru:

[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex].

Znajdziemy cztery kolejne liczby naturalne takie, z których najmniejsza przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. Tę najmniejszą liczbę możemy zapisać jako:

[tex]5n+1,n\in\mathbb{N}[/tex],

ponieważ mamy

[tex](5n+1):5=n \quad \text{reszta} \quad 1[/tex].

Zatem kolejne liczby mają postać:

[tex]5n+2,5n+3,5n+4,n\in\mathbb{N}[/tex].

Znajdziemy teraz, jak wygląda suma ich sześcianów:

[tex](5n+1)^3+(5n+2)^3+(5n+3)^3+(5n+4)^3=125n^3+75n^2+15n+1+125n^3+150n^2+60n+8+125n^3+225n^2+135n+27+125n^3+300n^2+240n+64=500n^3+750n^2+450n+100=100(5n^3+7,5n^2+4,5n+1)[/tex]

Sumę sześcianów czterech takich liczb naturalnych możemy zapisać jako iloczyn pewnej liczby oraz liczby 100. Zatem ta suma jest podzielna przez 100. Co należało dowieść.

#SPJ1