Question

Wykaż, że równanie x5 - 5x3 + x2 - x + 2=0 nie ma pierwiastków całkowitych.

Answer 1

Odpowiedź:

Aby wykazać, że dane równanie x^5 - 5x^3 + x^2 - x + 2 = 0 nie ma pierwiastków całkowitych, można skorzystać z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach, które mówi, że jeśli istnieje całkowity pierwiastek (a/b) danego równania, to a musi być dzielnikiem współczynnika wolnego (w tym przypadku 2), a b musi być dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze (w tym przypadku 1).

Równanie x^5 - 5x^3 + x^2 - x + 2 = 0 możemy przekształcić w:

x^5 - x^3 - 4x^3 + x^2 - x + 2 = 0

x^3(x^2 - 4x + 1) - x(x - 1) + 2 = 0

Teraz możemy rozważyć pierwiastki całkowite. Dla pierwiastka całkowitego x, oba x^3 i x muszą być liczbami całkowitymi.

Pierwszy składnik, x^3, jest całkowity, ale drugi składnik, x, musi również być całkowity. Jednakże, to oznaczałoby, że 2 = 0, co jest sprzeczne.

Podobnie, x^2 - 4x + 1 nie ma pierwiastków całkowitych, ponieważ nie istnieją całkowite rozwiązania równania x^2 - 4x + 1 = 0.

Ostatecznie, nie istnieją całkowite rozwiązania równania x^5 - 5x^3 + x^2 - x + 2 = 0, co dowodzi, że to równanie nie ma pierwiastków całkowitych

Szczegółowe wyjaśnienie: