Question

Wykaż, że równanie x⁸ + x² = 2(x⁴ + x −1)ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1.​
prosiłbym o pokazanie krokow

Answer 1

Odpowiedź:

Aby udowodnić, że równanie x⁸ + x² = 2(x⁴ + x − 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1, możemy rozwiązać to równanie krok po kroku.

Równanie wygląda następująco:

x⁸ + x² = 2(x⁴ + x − 1)

Rozważmy najpierw lewą stronę równania:

x⁸ + x² = x²(x⁶ + 1)

Teraz możemy podstawić to do równania:

x²(x⁶ + 1) = 2(x⁴ + x − 1)

Podzielmy teraz obie strony przez x²:

x⁶ + 1 = 2(x² + 1/x − 1/x²)

Teraz zauważmy, że lewa strona równania x⁶ + 1 jest zawsze większa lub równa 1, natomiast prawa strona równania 2(x² + 1/x − 1/x²) zawsze jest większa od 2. Wobec tego, równanie nie może mieć więcej niż jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Ponadto, jeśli podstawimy x = 1 do równania, obie strony będą równe sobie:

1⁸ + 1² = 2(1⁴ + 1 − 1)

1 + 1 = 2(1)

2 = 2

Dlatego jedynym rozwiązaniem rzeczywistym tego równania jest x = 1.

Szczegółowe wyjaśnienie: