Question

Wykaż, że kwadrat liczby niepodzielnej przez 5 daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1 lub 4.

Answer 1

Przypomnienie: Jezeli liczba calkowita m przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1, to istnieje taka liczba calkowita k, ze zachodzi rownosc m = 5 * k + 1. Ta zasada dziala tez w druga strone: jezeli liczba jest postaci 5*k + 1, gdzie k to pewna liczba calkowita, to ta liczba przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1.

Liczba niepodzielna przez 5 przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1,2,3 lub 4. Rozpatruje wszystkie 4 przypadki:

(5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5*(5k^2+2k)+1

Z powyzszego wynika, ze kwadrat liczby, ktora przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1, przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1.

(5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5*(5k^2+4k)+4

Z powyzszego wynika, ze kwadrat liczby, ktora przy dzieleniu przez 5 daje reszte 2, przy dzieleniu przez 5 daje reszte 4.

(5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5*(5k^2+6k+1)+4

Z powyzszego wynika, ze kwadrat liczby, ktora przy dzieleniu przez 5 daje reszte 3, przy dzieleniu przez 5 daje reszte 4.

(5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5*(5k^2+2k+3)+1

Z powyzszego wynika, ze kwadrat liczby, ktora przy dzieleniu przez 5 daje reszte 4, przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1.

Zatem kwadrat liczby niepodzielnej przez 5 przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1 lub 4.