Question

Wykaż, że jeśli dla liczb rzeczywistych k,m,p,r zachodzi równość (k+m)^2+(p-r)^2= (k+p)^2+(m-r)^2 to m=p lub k=r

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

[tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\[/tex]

Wówczas lewą stronę równości możemy przekształcić następująco:

[tex](k+m)^2 + (p-r)^2= k^2 + 2km + m^2 + p^2 - 2pr + r^2[/tex]

Zaś prawą stronę równości możemy przekształcić następująco:

[tex](k+p)^2 + (m-r)^2 = k^2 + 2kp + p^2 + m^2 - 2mr + r^2[/tex]

Zatem równość z treści zadania przedstawia się tak:

[tex]k^2 + 2km + m^2 + p^2 - 2pr + r^2 = k^2 + 2kp + p^2 + m^2 - 2mr + r^2[/tex]

Po przeniesieniu wszystkich składników z prawej strony na lewą stronę, otrzymujemy

[tex]k^2 - k ^2 + 2km + m^2 - m^2 + p^2 -p^2 - 2pr + r^2 -r^2 - 2kp + 2mr = 0[/tex]

Po zredukowaniu wyrażeń podobnych, mamy

[tex]2km - 2pr - 2kp + 2mr = 0[/tex]

Pogrupujmy wyrażenia następująco:

[tex]2km - 2kp + 2mr - 2pr = 0[/tex]

Wyłączając przed nawias odpowiednie czynniki, dostajemy

[tex]2k(m-p) + 2r(m-p) = 0[/tex]

Wyłączając przed nawias wyrażenie (m+p), mamy

[tex](m-p)(2k+2r) = 0[/tex]

Aby to wyrażenie było równe zeru, któreś z wyrażeń w nawiasie musi być równe zeru. A zatem [tex]m - p = 0[/tex] lub [tex]2k + 2r = 0[/tex]. Stąd wynika, że

[tex]m= p[/tex] lub [tex]2k = -2r.[/tex] Zatem [tex]m=p[/tex] lub [tex]k = -r[/tex], co kończy dowód.