Question

Wykaż, że jeśli ciąg (a_n ) jest zbieżny i wszystkie jego wyrazy są nieujemne, to granica tego ciągu również jest liczbą nieujemną.

Answer 1

Jeśli ciąg (a_n) jest zbieżny, oznacza to, że istnieje granica tego ciągu, którą oznaczymy jako L. Ponieważ każdy wyraz ciągu (a_n) jest nieujemny, możemy stwierdzić, że dla każdego n, a_n >= 0.

Załóżmy nie wprost, że granica L jest liczbą ujemną, czyli L < 0. Ponieważ ciąg jest zbieżny, dla dowolnego ε > 0 istnieje takie N, że dla każdego n > N, |a_n - L| < ε. Wybierzmy ε = |L|, co jest wartością bezwzględną z L.

Wtedy |a_n - L| < |L| dla n > N. Rozpisując wartość bezwzględną, otrzymujemy a_n - L < |L| oraz a_n - L > -|L|.

Mamy teraz dwie możliwości:

1. a_n - L < |L|
a_n < L + |L|
a_n < 0 (ponieważ L < 0 i |L| > 0)

2. a_n - L > -|L|
a_n > L - |L|
a_n > 0 (ponieważ L < 0 i |L| > 0)

W obu przypadkach doszliśmy do sprzeczności, ponieważ zakładaliśmy, że granica L jest liczbą ujemną, a wyrazy ciągu (a_n) są nieujemne. Dlatego granica ciągu (a_n) musi być liczbą nieujemną.