Question

Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez 7 jest liczbą podzielną przez 2058

Answer 1

[tex]7n,7n+7,7n+14[/tex] gdzie [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] - trzy kolejne liczby podzielne przez 7

[tex]7n(7n+7)(7n+14)=7n\cdot 7(n+1)\cdot 7(n+2)=343n(n+1)(n+2)[/tex]

Powyższy iloczyn jest podzielny przez 343, ponieważ jednym z czynników jest liczba 343.

[tex]n(n+1)(n+2)[/tex] jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Taki iloczyn jest podzielny przez 2 i przez 3. 2 i 3 są liczbami względnie pierwszymi, zatem powyższy iloczyn jest również podzielny przez iloczyn liczb 2 i 3 czyli 6.

Zatem iloczyn [tex]343n(n+1)(n+2)[/tex] jest podzielny zarówno przez 343 jak i 6. Liczby 6 i 343 również są względnie pierwsze. A zatem ten iloczyn jest podzielny przez iloczyn liczb 6 i 343 czyli 2058.

Z powyższego wynika zatem, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez 7 jest podzielny przez 2058.