Question

Wykaż że dla każdej liczby całkowitej n liczba n5-n jest podzielna przez 6

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby wykazać, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n^5 - n jest podzielna przez 6, należy udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej n, n^5 - n jest równa iloczynowi liczby 6 i pewnej liczby całkowitej.

Możemy zacząć od faktoryzacji n^5 - n. W tym celu możemy wykorzystać fakt, że n^5 = nn^4 oraz n^4 = nn^3 itd. Zauważmy również, że n^3 - n jest równa iloczynowi liczby 2 i pewnej liczby całkowitej.

Zatem:

n^5 - n = nn^4 - n

= n(n^3n - 1)

= n(n^3 - 1)(n^2 + n + 1)

= n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2- n + 1)

= (n-1)n(n+1)(n^2+n+1)*(n^2- n + 1)

Teraz zauważmy, że jedna z liczb n-1, n lub n+1 jest podzielna przez 2 i jedna z nich jest podzielna przez 3 (ponieważ co najmniej jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych musi być podzielna przez 3). Ponadto, obie liczby n^2+n+1 oraz n^2- n + 1 są nieparzyste dla każdej liczby całkowitej n.

Zatem iloczyn (n-1)n(n+1) jest podzielny przez 6 dla każdej liczby całkowitej n. Ponadto, jeden z czynników n^2+n+1 oraz n^2- n + 1 jest podzielny przez 2 i drugi przez 3, więc cały iloczyn (n^2+n+1)*(n^2- n + 1) jest podzielny przez 6.

Ostatecznie, otrzymaliśmy, że iloczyn (n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2- n + 1) jest podzielny przez 6 dla każdej liczby całkowitej n, co kończy dowód. Stąd dla każdej liczby całkowitej n, liczba n^5 - n jest podzielna przez 6.