Question

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba "n^3+ (n do potęgi trzeciej, n do sześcianu) +5n" jest podzielna przez 3

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]n^{3} +5n=n(n^{2} +5)=n(n^{2} -1+6)=n(n^{2} -1)+6n=\\=n(n-1)(n+1)+6n[/tex]

Liczba:

[tex]n(n-1)(n+1)+6n[/tex]

jest zawsze podzielna przez 3 ponieważ składa się z sumy dwóch składników podzielnych przez 3:

[tex]n(n-1)(n+1)= (n-1)*n*(n+1)[/tex]  

jest podzielne przez 3 ponieważ jest to iloczyn 3 następujących po sobie liczb całkowitych, z których jedna jest podzielna przez 3,

a liczba;

[tex]6n[/tex]

jest podzielna przez 3 ponieważ jeden z czynników jest podzielny przez 3, z czego wynika, że cała liczba:

[tex]n^{3}+5n= n(n-1)(n+1)+6n[/tex]

też jest podzielna przez 3 CBDU.

Answer 2

[tex]n^3+5n=n(n^2+5)[/tex]

Liczba całkowita przy dzieleniu przez 3 może dać reszty 0,1 lub 2. Jeżeli liczba [tex]n[/tex] przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0, czyli jest podzielna przez 3, to podzielność [tex]n^3+5n[/tex] przez 3 jest oczywista.

Niech [tex]n=3k+1[/tex] i [tex]n=3k+2[/tex] oznaczają odpowiednio liczbę dającą przy dzieleniu przez 3 resztę 1 i 2.

Gdy [tex]n=3k+1[/tex], to

[tex]n^2+5=(3k+1)^2+5=9k^2+6k+1+5=9k^2+6k+6=3(3k^2+2k+2)[/tex] co jest oczywiście liczbą podzielną przez 3. Zatem również [tex]n^3+5n[/tex] takie jest.

Gdy [tex]n=3k+2[/tex], to

[tex]n^2+5=(3k+2)^2+5=9k^2+12k+4+5=9k^2+12k+9=3(3k^2+4k+3)[/tex] - podobnie jw.

Skoro w każdym przypadku dostaliśmy liczbę podzielną przez 3, to znaczy, że liczba [tex]n^3+5n[/tex] jest podzielna przez 3 dla dowolnego [tex]n[/tex] całkowitego.