Question

wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 10n^2+30n+20 dzieli sie przez 20

Answer 1

[tex]10n^2+30n+20=10(n^2+3n+2)=10(n^2+n+2n+2)=10(n(n+1)+2(n+1))=\\=10(n+1)(n+2)[/tex]

[tex](n+1)(n+2)[/tex] to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, a zatem jest podzielny przez 2.

A więc całe wyrażenie [tex]10(n+1)(n+2)[/tex] jest podzielne przez [tex]10\cdot2=20[/tex], c.k.d.

Answer 2

n ∈ Z

10n² + 30n + 20 = 10n² + 10n + 20n + 20 = 10n(n + 1) + 20(n + 1) = (10n + 20)(n + 1) = 10(n + 2)(n + 1)

Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych - (n + 2)(n + 1) - zawsze jest podzielny przez 2.

W takim razie:

10(n + 2)(n + 1) = 10 * 2k = 20k ; k ∈ Z

c.n.d