Question

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an), określone dla n ≥ 1, są dodatnie.
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a₁ - 5a2 + a3 = 0. Oblicz iloraz q tego ciągu
należący do przedziału < 2√2,3√2).

Answer 1

Przyjmijmy, że kolejne wyrazy ciągu to a₁, a₂ i a₃.

Z równania mamy:

6a₁ - 5a₂ + a₃ = 0

Teraz podstawmy odpowiednie wartości:

6a₁ - 5a₂ + a₃ = 6a₁ - 5(a₁ + q) + (a₁ + 2q)

Skróćmy teraz:

6a₁ - 5a₁ - 5q + a₁ + 2q = 0

Uporządkujmy teraz wyrazy:

6a₁ - 5a₁ + a₁ - 5q + 2q = 0

Skróćmy:

2a₁ - 3q = 0

Teraz możemy rozwiązać równanie względem ilorazu q:

3q = 2a₁

Podzielmy obie strony przez 2a₁:

q = (2a₁) / 3

Teraz musimy określić przedział, w którym znajduje się iloraz q. Podano, że iloraz należy do przedziału <2√2, 3√2).

Podstawmy 2a₁ / 3 za q:

2a₁ / 3 ∈ <2√2, 3√2)

Teraz podzielmy przez 2/3:

a₁ ∈ <√2, 3√2)

Ostatecznie iloraz q tego ciągu należy do przedziału (<√2, 3√2).