Question

Wśród stożków o tworzącej długości 10 znajduje się taki o największej objętości.
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]$P=\frac{100\pi(2+\sqrt{6})}{3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ustalmy promień podstawy stożka jako [tex]r[/tex] oraz wysokość stożka jako [tex]h[/tex], gdzie [tex]r,h > 0[/tex]. Z twierdzenia Pitagorasa uzyskuje się:

[tex]r^2+h^2=10^2 \implies r^2=100-h^2[/tex]

Objętość stożka jest równa:
[tex]$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi(100-h^2)h[/tex]

Ustalmy funkcję zmiennej [tex]h[/tex] :

[tex]$f(h)=-h^3+100h[/tex]

dla [tex]h \in (0,10)[/tex] .

Objętość będzie największa, jeżeli [tex]f(h)[/tex] przyjmie wartość największą.

Pochodna:

[tex]f'(h)=-3h^2+100[/tex]

dla [tex]h \in (0,10)[/tex].

Mamy:

[tex]$f'(h)=0 \iff -3h^{2}+100 =0 \iff h^{2}=\frac{100}{3}[/tex]

[tex]$h=-\frac{10\sqrt{3}}{3} \notin D \vee h=\frac{10\sqrt{3}}{3} \in D[/tex]

Zauważmy, że dla [tex]$h \in \Big(0, \frac{10\sqrt{3}}{3}\Big)[/tex] mamy [tex]f'(h) > 0[/tex], czyli funkcja [tex]f(h)[/tex] rośnie w tym przedziale. Ponadto dla [tex]$h \in \Big( \frac{10\sqrt{3}}{3},10\Big)[/tex] mamy [tex]f'(h) < 0[/tex], czyli funkcja [tex]f(h)[/tex] maleje w tym przedziale. Stąd wniosek, że funkcja osiąga wartość największą dla [tex]$h=\frac{10 \sqrt{3}}{3}[/tex] .

Dla wygody wyznaczmy promień stożka o największej objętości:

[tex]$r^{2}=100-h^{2}=100-\frac{100}{3}=\frac{200}{3} \implies r=\frac{10\sqrt{6}}{3}[/tex]

Pozostaje nam obliczyć pole powierzchni stożka o największej objętości:

[tex]$P=\pi r^2 +\pi rl=\pi r(r+l)=\pi \cdot\frac{10\sqrt{6}}{3} \Big( \frac{10\sqrt{6}}{3}+10\Big)=\frac{100\pi(2+\sqrt{6})}{3}[/tex]