Question

Wskaż liczbę która należy do dziedziny funkcji

Answer 1

[tex]f(x)=\frac{x-1}{x-3}\qquad x\in(3,+\infty)[/tex]

Dla prostszych obliczeń przekształćmy wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej.

[tex]f(x)=\frac{x-1}{x-3}=\frac{x-3+2}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{2}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}[/tex]

Przejdźmy do badania monotoniczności funkcji.

Niech

[tex]x_1\in(3,+\infty)\qquad x_2\in(3,+\infty)\\x_2 > x_1[/tex]

czyli niech

[tex]x_1 > 3\\x_1-3 > 0\\x_2 > 3\\x_2-3 > 0\\x_2-x_1 > 0[/tex]

Policzmy wartość wyrażenia:

[tex]f(x_2)-f(x_1)=1+\frac{2}{x_2-3}-\left(1+\frac{2}{x_1-3}\right)=1+\frac{2}{x_2-3}-1-\frac{2}{x_1-3}=\\\\=\frac{2}{x_2-3}-\frac{2}{x_1-3}=\frac{2(x_1-3)}{(x_1-3)(x_2-3)}-\frac{2(x_2-3)}{(x_1-3)(x_2-3)}=\frac{2x_1-6}{(x_1-3)(x_2-3)}-\frac{2x_2-6}{(x_1-3)(x_2-3)}=\\\\=\frac{2x_1-6-2x_2+6}{(x_1-3)(x_2-3)}=\frac{2x_1-2x_2}{(x_1-3)(x_2-3)}=\frac{\overbrace{-2}^{ < 0}\overbrace{(x_2-x_1)}^{ > 0}}{\underbrace{(x_1-3)}_{ > 0}\underbrace{(x_2-3)}_{ > 0}} < 0[/tex]

Powyższe wyrażenie jest ujemne, więc funkcja jest malejąca w przedziale [tex](3,+\infty)[/tex].