Odp.: (4, 8, 16) lub (16, 8, 4)
to ciągi, których wyrazami są liczby.
Wyróżniamy dwa szczególne rodzaje ciągów liczbowych:
czyli ciąg, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę nazywaną różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczaną r.
czyli ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego i stałej liczby nazywanej ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczanej q.
W ciągu arytmetycznym dowolne trzy kolejne wyrazy zawsze spełniają warunek:
[tex]\large\text{$a_2=\frac{a_1+a_3}2$}[/tex]
Czyli:
[tex]a_1+a_3=2a_2[/tex]
Wiemy, że suma tych trzech wyrazów wynosi 39, czyli:
[tex]a_2+a_1+a_3=39\\\\a_2+2a_2=39\\\\3a_2=39\qquad/:3\\\\a_2=13[/tex]
oraz:
[tex]a_1+a_3=2a_2\\\\a_1+a_3=2\cdot13\\\\a_3=26-a_1[/tex]
Zatem w ciągu geometrycznym mamy wyrazy:
Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy dzieląc następny wyraz ciągu przez poprzedni. Iloraz ten jest stały bez względu na to jaką parę kolejnych wyrazów bierzemy do obliczeń, czyli:
[tex]\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{b_3}{b_2}[/tex]
[tex]\dfrac{8}{a_1-3}=\dfrac{23-a_1}{8}\qquad\ \big/\cdot8(a_1-3)\\\\\\64=(a_1-3)(23-a_1)\\\\64=23a_1-a_1^2-69+3a_1\\\\a_1^2-26a_1+133=0\\\\\Delta=(-26)^2-4\cdot1\cdot133=676-532=144\quad\implies\quad \sqrt\Delta=12\\\\a_{1_1}=\frac{-(-26)-12}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\ ,\qquad a_{1_2}=\frac{-(-26)+12}{2\cdot1}=\frac{38}{2}=19\\\\\\b_{1_1}=7-3=4\qquad\qquad\qquad\qquad b_{1_2}=19-3=16\\\\ b_{3_1}=23-7=16\qquad\qquad\qquad\quad b_{3_2}=23-19=4[/tex]
Zatem szukany ciąg geometryczny to:
[tex]\Large\text{$\bold{\big(4,\,8,\,16\big)}$}[/tex] lub [tex]\Large\text{$\bold{\big(16,\,8,\,4\big)}$}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Odp.: (4, 8, 16) lub (16, 8, 4)
Ciągi liczbowe
to ciągi, których wyrazami są liczby.
Wyróżniamy dwa szczególne rodzaje ciągów liczbowych:
Ciąg arytmetyczny
czyli ciąg, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę nazywaną różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczaną r.
Ciąg geometryczny
czyli ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego i stałej liczby nazywanej ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczanej q.
W ciągu arytmetycznym dowolne trzy kolejne wyrazy zawsze spełniają warunek:
[tex]\large\text{$a_2=\frac{a_1+a_3}2$}[/tex]
Czyli:
[tex]a_1+a_3=2a_2[/tex]
Wiemy, że suma tych trzech wyrazów wynosi 39, czyli:
[tex]a_2+a_1+a_3=39\\\\a_2+2a_2=39\\\\3a_2=39\qquad/:3\\\\a_2=13[/tex]
oraz:
[tex]a_1+a_3=2a_2\\\\a_1+a_3=2\cdot13\\\\a_3=26-a_1[/tex]
Zatem w ciągu geometrycznym mamy wyrazy:
[tex]b_1=a_1-3\\\\b_2=a_2-5=13-5=8\\\\b_3=a_3-3=26-a_1-3=23-a_1[/tex]
Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy dzieląc następny wyraz ciągu przez poprzedni. Iloraz ten jest stały bez względu na to jaką parę kolejnych wyrazów bierzemy do obliczeń, czyli:
[tex]\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{b_3}{b_2}[/tex]
Czyli:
[tex]\dfrac{8}{a_1-3}=\dfrac{23-a_1}{8}\qquad\ \big/\cdot8(a_1-3)\\\\\\64=(a_1-3)(23-a_1)\\\\64=23a_1-a_1^2-69+3a_1\\\\a_1^2-26a_1+133=0\\\\\Delta=(-26)^2-4\cdot1\cdot133=676-532=144\quad\implies\quad \sqrt\Delta=12\\\\a_{1_1}=\frac{-(-26)-12}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\ ,\qquad a_{1_2}=\frac{-(-26)+12}{2\cdot1}=\frac{38}{2}=19\\\\\\b_{1_1}=7-3=4\qquad\qquad\qquad\qquad b_{1_2}=19-3=16\\\\ b_{3_1}=23-7=16\qquad\qquad\qquad\quad b_{3_2}=23-19=4[/tex]
Zatem szukany ciąg geometryczny to:
[tex]\Large\text{$\bold{\big(4,\,8,\,16\big)}$}[/tex] lub [tex]\Large\text{$\bold{\big(16,\,8,\,4\big)}$}[/tex]