Wierzchołek W paraboli, która jest wykresem funkcji f(x) = x² + 4x - 2, oraz punkty A=(-5,f(-5)) i B=(0, f(0)) są wierzchołkami trójkąta ABW. Oblicz pole tego trójkąta.
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Verified answer
W pierwszej kolejności należy obliczyć wierzchołek paraboli.
W = (p,q) => (x,y)
p = -b/2a, q = -delta / 4a
y=a*x^2+b*x+c
a=1, b=4, c=-2 w tym zadaniu
p = -4/2 = -2
delta = b^2-4*a*c
delta = 16-4*1*-2
delta = 16+8
delta = 24
q = -24/4 = -6
W = (-2, -6)
Teraz wyznaczmy współrzędne pozostałych punktów:
A = (-5,f(-5))
f(-5) = 25-20-2 = 3
A = (-5,3)
B = (0, f(0))
f(0) = -2
B = (0, -2)
Mamy już punkty, narysujmy trójkąt w układzie współrzędnych (załącznik 1)
Należy połączyć punkty, tak aby stworzyły trójkąt.
Wzór na pole trójkąta => P = 0.5*a*h
W tym miejscu warto stworzyć prostokąt, w oparciu o współrzędne punktów A oraz W (posiadające najbardziej skrajne wartości).
Prostokąt ten będzie miał następujące wierzchołki: C = (-5,3), D=(-5,-6), E=(0,-6) oraz F=(0,3).
Teraz posiadamy nasz trójkąt w prostokącie. Wykorzystajmy fakt, iż stworzyliśmy 3 trójkąty prostokątne. Pierwszy z nich zbudowany w oparciu o punkty A, D oraz W; drugi w oparciu o punkty W, E oraz B; trzeci o wierzchołkach w punktach A, B oraz F.
Policzmy ich pola powierzchni:
Trójkąt 1 (ADW):
|AD| (długość odcinka AD) = [tex]\sqrt[2]{(x_{1}-x_{2})^{2} +(y_{1}-y_{2})^{2}}[/tex] => wzór na długość odcinka
współrzędne x są jednakowe - znoszą się do 0.
A zatem |AD| = |y(1) - y(2)| = 3-(-6) = 9
|AD| = h dla pierwszego trójkąta
|DW| = |-5-(-2)| = 3 (wartość bezwzględna, gdyż najpierw jest podniesienie do potęgi, a później pierwiastkowanie, nie możliwym jest otrzymanie wyniku ujemnego, poza tym długości nie mogą być ujemne - logika).
A zatem pole trójkąta 1 = 3*9/2 = 13.5 j^2
Trójkąt 2 (WEB):
|WE| = |-2-0| = 2
|BE| = |-2-(-6)| = 4
Pole trójkąta 2 = 2*4/2 = 4 j^2
Pole trójkąta 3 (ABF):
|AF| = |-5-0| = 5
|BF| = |-2-3| = 5
Pole trójkąta 3 = 5*5/2 = 12.5 j^2
Teraz możemy obliczyć pole całego prostokąta, a następnie odjąć pola trzech trójkątów. W ten sposób poznamy pole naszego trójkąta.
P prostokąta = 5*9 = 45 j^2
Pole naszego trójkąta = 45 j^2 - 12.5 j^2 - 4j^2 - 13.5j^2 = 15 j^2
Sprawdzenie:
15j^2 + 4j^2 + 12.5j^2 + 13.5j^2 = 45 j^2 ?
45 j^2 = 45 j^2
Rysunek poglądowy w załączniku.