Question

Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f(x)=x2-6x-2 oraz punkty A (1,f(1)) i B (6,f(6)) są wierzchołkami trójkąta ABW. Oblicz pole tego trójkąta.

Answer 1

Odpowiedź:

Pierwszym krokiem jest obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli. Możemy to zrobić na kilka sposobów, ale najprostszy to użycie wzoru na współrzędną x-wierzchołka: x_w = -b/2a, gdzie a i b to współczynniki funkcji kwadratowej f(x) = ax^2 + bx + c.

W tym przypadku mamy: a = 1, b = -6, c = -2.

Współrzędna x_w to zatem: x_w = -(-6)/(2*1) = 3.

Współrzędna y-wierzchołka to wartość funkcji w punkcie x_w: y_w = f(3) = 3^2 - 6*3 - 2 = -11.

Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne (3, -11).

Teraz możemy obliczyć długości boków trójkąta ABW, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

AB^2 = (6-1)^2 + (f(6)-f(1))^2 = 25 + (f(6)-f(1))^2

W^2 = (3-1)^2 + (-11-f(1))^2 = 4 + (-11-f(1))^2

AW^2 = (3-1)^2 + (-11-f(6))^2 = 4 + (-11-f(6))^2

Teraz możemy obliczyć wysokość trójkąta z wierzchołka W, która jest równa odległości punktu W od prostej przechodzącej przez punkty A i B. Aby to zrobić, obliczamy równanie tej prostej:

y = f(1) + (f(6)-f(1))/(6-1)*(x-1) = -3/5 x + 8

Wstawiamy współrzędne punktu W (3, -11) i obliczamy odległość:

h = |(-3/5)*3 + 8 + 11|/sqrt((-3/5)^2 + 1) = 40/(5sqrt(34)) = 8/sqrt(34)

Ostatecznie, pole trójkąta ABW możemy obliczyć korzystając z wzoru na pole trójkąta:

P = 0.5 * AB * h = 0.5 * sqrt(25 + (f(6)-f(1))^2) * (8/sqrt(34)) = 4 * sqrt(34)

Szczegółowe wyjaśnienie: