Question

Wielomiany
1. Rozwiąż równanie. Zacznij od znezienia pierwiastka całkowitego
a) x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0
b) 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2 = 0
c) x^3 + 6x^2 + 10x + 3 = 0
d) 4x^3 + 16x^2 + 13x + 3 = 0

Proszę z wytłumaczeniem jeśli można :))
​

Answer 1

Odpowiedź:

Rozwiążmy podane równania wielomianowe:

a) x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0

Zacznijmy od znalezienia pierwiastka całkowitego, który jest dzielnikiem wyrazu wolnego (-4). Sprawdźmy, czy -1 jest pierwiastkiem:

(-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) - 4 = -1 + 6 - 9 - 4 = -8

Wynik jest różny od zera, więc -1 nie jest pierwiastkiem. Sprawdźmy kolejne możliwe dzielniki liczby 4: 1 i 2.

Dla x = 1:

1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0

Zatem x = 1 jest pierwiastkiem równania.

Podzielmy pierwotne równanie przez (x - 1) za pomocą metody dzielenia wielomianów:

x^2 - 5x + 4

x - 1 | x^3 - 6x^2 + 9x - 4

- x^3 + x^2

__________

-7x^2 + 9x

+ 7x^2 - 7x

__________

16x - 4

- 16x + 16

__________

12

Otrzymujemy iloraz x^2 - 5x + 4. Teraz możemy rozwiązać równanie kwadratowe x^2 - 5x + 4 = 0.

(x - 1)(x - 4) = 0

Stąd otrzymujemy dwa rozwiązania: x = 1 i x = 4.

b) 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2 = 0

Podobnie jak wcześniej, sprawdźmy dzielniki wyrazu wolnego (2): 1 i 2.

Dla x = 1:

3(1)^3 + 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 3 + 3 - 5 + 2 = 3

Dla x = 2:

3(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 24 + 12 - 10 + 2 = 28

Żaden z tych dzielników nie daje nam wyniku równego zero. W tym przypadku możemy użyć metody iteracyjnej, na przykład metody Newtona-Raphsona, aby znaleźć przybliżone pierwiastki równania.

c) x^3 + 6x^2 + 10x + 3 = 0

Dla równania tego możemy użyć metody Ruffiniego. Sprawdźmy dzielniki wyrazu wolnego (3): 1 i 3.

Dla x = 1:

(1)^3 + 6(1)^2 + 10(1) + 3 = 1 + 6 + 10 + 3 = 20

Dla x = 3:

(3)^3 + 6(3)^2 + 10(3) + 3 = 27 + 54 + 30 + 3 = 114

Żaden z tych dzielników nie daje nam wyniku równego zero. Możemy kontynuować testowanie innych możliwych dzielników, aż znajdziemy pierwiastki równania.

d) 4x^3 + 16x^2 + 13x + 3 = 0

Sprawdźmy dzielniki wyrazu wolnego (3): 1 i 3.

Dla x = 1:

4(1)^3 + 16(1)^2 + 13(1) + 3 = 4 + 16 + 13 + 3 = 36

Dla x = 3:

4(3)^3 + 16(3)^2 + 13(3) + 3 = 108 + 144 + 39 + 3 = 294

Żaden z tych dzielników nie daje nam wyniku równego zero. Podobnie jak w przypadku poprzedniego równania, możemy kontynuować testowanie innych możliwych dzielników, aż znajdziemy pierwiastki równania.

Szczegółowe wyjaśnienie: