Question

Wielomian W(x)=x3+cx2-10x+d jest podzielny przez dwumian x+2, zaś przy dzieleniu przez dwumian x-1 daje resztę (-30). Oblicz wartoscinarametrow c i d oraz wyznacz wszystkie pierwiastki tego wielomianu.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]c=3\\d=-24\\x_0\in\{-4,-2,3\}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]W(x)=x^3+cx^2-10x+d[/tex]

Skoro wielomian jest podzielny przez dwumian [tex]x+2[/tex], zaś przy dzieleniu przez dwumian [tex]x-1[/tex] daje resztę [tex]-30[/tex], to

[tex]\left \{ {{W(-2)=0} \atop {W(1)=-30}} \right. \\\\W(-2)=(-2)^3+c*(-2)^2-10*(-2)+d=-8+4c+20+d=4c+d+12\\\\W(1)=1^3+c*1^2-10*1+d=1+c-10+d=c+d-9\\\\\left \{ {{4c+d+12=0} \atop {c+d-9=-30}} \right. \\\\\left \{ {{4c+d=-12} \atop {c+d=-21\ |*(-1)}} \right.\\\\\left \{ {{4c+d=-12} \atop {-c-d=21}} \right|+\\\\\left \{ {{3c=9\ |:3} \atop {-c-d=21}} \right.\\\\\left \{ {{c=3} \atop {-3-d=21}} \right.\\\\\left \{ {{c=3} \atop {-d=24\ |:(-1)}} \right.\\\\\left \{ {{c=3} \atop {d=-24}} \right.[/tex]

Zatem wielomian ma postać:

[tex]W(x)=x^3+3x^2-10x-24[/tex]

Ponieważ z danych zadania wiemy, że -2 jest pierwiastkiem wielomianu, to wykonamy dzielenie metodą Hornera.

[tex]\begin{array}{c|c|c|c|c|}&1&3&-10&-24\\-2&1&1&-12&=\end{array}[/tex]

Zatem wielomian można zapisać jako:

[tex]W(x)=(x+2)(x^2+x-12)[/tex]

Policzmy pierwiastki trójmianu kwadratowego z drugiego nawiasu.

[tex]\Delta=1^2-4*1*(-12)=1+48=49\\\sqrt\Delta=7\\x_1=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\x_2=\frac{-1+7}{2}=\frac{36}{2}=3[/tex]

Zatem wielomian ma pierwiastki:

[tex]x_0\in\{-4,-2,3\}[/tex]