Question

Wielomian Wx = x⁴-ax³ +bx² +12x + 9
jest kwadratem wielomianu, wyznacz p oraz q

prośba o rozwiązanie zadania z obliczeniami
to nie jest zadanie egzaminacyjne, tylko zwykłe zadanie ​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]\left\{\begin{array}{l}q=3\\p=2\\P(x)=x^2+2x+3\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}q=-3\\p=-2\\P(x)=x^2-2x-3\end{array}\right.[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]W(x) = x^4-ax^3 +bx^2 +12x + 9[/tex]

Ponieważ jest to wielomian stopnia 4, więc jest kwadratem wielomianu stopnia 2. Rozwiązania szukać będziemy w postaci

[tex]P(x)=x^2+px+q[/tex]

Zatem

[tex](P(x))^2=W(x)\\\\(P(x))^2=(x^2+px+q)^2=[(x^2+px)+q]^2=(x^2+px)^2+2(x^2+px)q+q^2=\\\\=x^4+2px^3+p^2x^2+2qx^2+2pqx+q^2=x^4+2px^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2[/tex]

Porównując odpowiednie współczynniki mamy:

[tex]\left\{\begin{array}{l}q^2=9\\2pq=12\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}q=3\\2p*3=12\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}q=-3\\2p*(-3)=12\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}q=3\\6p=12\ |:6\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}q=-3\\-6p=12\ |:(-6)\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}q=3\\p=2\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}q=-3\\p=-2\end{array}\right.[/tex]

Zatem mamy dwa rozwiązania zadania:

[tex]\left\{\begin{array}{l}q=3\\p=2\\P(x)=x^2+2x+3\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}q=-3\\p=-2\\P(x)=x^2-2x-3\end{array}\right.[/tex]