Question

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x - 1) daje resztę 3, a przy dzieleniu przez (x + 2) daje resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x - 1)(x + 2)

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Z zadania wiemy, że W(1)=3 oraz W(-2)=5.

Niech P(x)=(x-1)(x+2)

W(x)=Q(x)*P(x)+R(x)  

reszta  R(x)  musi być wielomianem stopnia co najwyżej  pierwszego (ma stopień o 1 niższy niż stopień wielomianu przez który dzielimy) czyli  jest postaci:  R(x) = ax +b

W(x)=Q(x)*(x-1)(x+2)+ax+b

W(1)=3  ⇒   Q(x)*(1-1)(1-2)+a*1+b=3

                   Q(x)*0*(-1)+a+b=3

                                    a+b=3

W(-2)=5 ⇒ Q(x)(-2-1)(-2+2)+a*(-2)+b=5

                   Q(x)(-3)*0-2a+b=5

                                   -2a+b=5

[tex]\left \{ {{a+b=3} \atop {-2a+b=5}} \right. \\\left \{ {{2a+2b=6} \atop {-2a+b=5}} \right. \\+----\\3b=11\\b=\frac{11}{3} \\a+3\frac{2}{3} =3\\a=-\frac{2}{3} \\\left \{ {{b=3\frac{2}{3} } \atop {a=-\frac{2}{3} }} \right.[/tex]

Odp. [tex]R(x)=-\frac{2}{3} x+3\frac{2}{3}[/tex]