Wiedząc, że odległość z Ziemii do Słońca wynosi 150 000 000 km, oblicz masę Słońca. Z wytłumaczeniem.... Question from @Arikta

January 2019 1 17 Report

Wiedząc, że odległość z Ziemii do Słońca wynosi 150 000 000 km, oblicz masę Słońca.
Z wytłumaczeniem proszę :)

dominnio Na poruszającą się wokół Słońca Ziemię działa siła grawitacji pochodząca od Słońca. Jest to zarazem siła dośrodkowa w ruchu Ziemi wokół Słońca.

Siła grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia jest równa :
$F_g=G \frac{M_S\cdot M_Z}{R^2} \\\\
M_S-masa\ Slonca\\
M_Z-masa\ Ziemi\\
R-odleglosc\ Ziemi\ od\ Slonca\\
G-stala\ grawitacji$

Siła dośrodkowa jest równa :
$F_d= \frac{M_Zv^2}{R} \\\\
M_Z-masa\ Ziemi\\
v-predkosc\ z\ jaka\ Ziemia\ obiega\ Slonce\\
R-odleglosc\ Ziemi\ od\ Slonca$

Prędkość z jaką Ziemia obiega Słońce możemy wyrazić jako iloraz drogi jaką pokonuje Ziemia w ruchu obiegowym wokół Słońca i czasu potrzebnego na ten obieg.
$v= \frac{2\pi R}{T} \\\\
R-odleglosc\ Ziemi\ od\ Slonca\\
T-okres\ obiegu \ Ziemi\ wokol\ Slonca\ (365\ dni=31 536 000\ sekund)$

Zatem siłę dośrodkową możemy wyrazić wzorem :
$F_d= \frac{M_Zv^2}{R}= \frac{M_Z( \frac{2\pi R}{T} )^2}{R}=\frac{M_Z\cdot \frac{4\pi^2 R^2}{T^2} }{R}=\frac{M_Z\cdot 4\pi^2 R }{T^2}$

Teraz przyrównujemy siłę grawitacji do siły dośrodkowej.
$F_g=F_d\\\\
G \frac{M_S\cdot M_Z}{R^2}=\frac{M_Z\cdot 4\pi^2 R }{T^2}\\\\
M_S=\frac{4\pi^2 R^3 }{GT^2}\\\\
$

Teraz wstawiamy dane i liczymy.
$M_S=\frac{4(3,14)^2 (150\ 000\ 000\ 000m)^3 }{6,67\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kgs^2}\cdot(31 536 000s)^2}\\\\
M_S=2,00860466\cdot 10^{30}kg\\\\
M_S\approx 2\cdot 10^{30}kg\\\\
$

1 votes Thanks 1