Wiedząc, że masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi, a odległość pomiędzy środkami Ziemi i Księżyca wynosi 384 tyś. km wyznacz punkt, w którym siły grawitacyjne pochodzące od Ziemi i Księżyca znoszą się wzajemnie. (Masa Ziemi, promień Ziemi i stała grawitacyjna znane).
M - masa Ziemi
m - masa księżyca
m₀ - masa ciała
384 tys km jest równa około 60 promieni Ziemi
m = 1/81 M
R - promień Ziemi
Szuk: r
Rozw.:
GMm₀/r² = Gmm₀/(60R - r)²
dzielimy obustronnie przez G i m₀
M/r² = m/(60R - r)²
M/r² = (1/81) M /(60R - r)²
ostatecznie
r² = 81 (60R - r)²
r² = 291600 R² - 9720Rr +81r²
81r² - r² - 9720Rr + 291600 R² = 0
80r² - 9720Rr + 291600 R² = 0
Jest to równanie drugiego stopnia więc żeby je policzyć musimy wyznaczyć Δ i pierwiastki r₁ i r₂ (patrz matematyka - wzory!)
czyli
Δ = (9720R)² - 4 × 80 × 291600 R² = 1166400R²
√Δ = 1080R
r₁ = (9720R - 1080R) / 160 = 54 R
r₂ = (9720R + 1080R) / 160 = 67,5 R
r₂ nie spełnia warunków zadania, więc odpowiedzią do zadania jest r₁
Odp: w odległości r = 54 R od środka Ziemi pomiędzy Ziemią a Księżycem znajduje się punkt, w którym siły grawitacyjne pochodzące od Ziemi i Księżyca znoszą się wzajemnie.
Jak czegoś tu nie rozumiesz to pisz do mnie!
witam
dane: Mz/Mk = n = 81, d = 384000km, Mz, Rz, G,
szukane : x - odległość pktu zniesienia sił graw. od śr.Ziemi
zatem odl. tego pktu od śr.Księżyca wynosi d - x
w pkcie zniesienia siły graw. umieszczona w nim masa próbna m musi być jednako przyciągana w kier.Ziemi i Księżyca czyli
Fz = Fk ale Fz = G*Mz*m/xdo2 oraz Fk = G*Mk*m/(d-x)do2
G*Mz*m/xdo2 = G*Mk*m/(d-x)do2 po uproszczeniu przez G i m będzie
Mz/xdo2 = Mk/(d-x)do2 ale Mz = n*Mk, a więc
n*Mk/xdo2 = Mk/(d-x)do2, które po uproszczeniu przez Mk będzie
n/xdo2 = 1/(d-x)do2
x2 = n*(d-x)2 x2 = n*(d2 - 2*d*x + x2 )
(n-1)x2 - 2*n*d*x + n*d2 = 0 delta D = 4*n*d2, pierw. z D = 2*d*pierw.n
czyli 2*d*ndo1/2
zatem x1=(2nd-2d*ndo1/2)/2(n-1)=(nd-d*ndo1/2)/(n-1)
x1=d*ndo1/2/(ndo1/2 + 1)=d*9/(9+1)=0,9d=345600km od Ziemi
między Ziemią a Księżycem.
Istnieje drugie rozwiązanie x2=1,125d=432000km, które odnosi się do pktu z drugiej strony Księżyca, ale tam ciążenia są jednakowe lecz nie znoszą się ponieważ są skierowane zgodnie.