Question

wiedzac ze a+b+c=a²+b²+c²=a³+b³+c³=1 oblicz abc

Liczę na pełne rozwiązanie ze wszystkimi obliczeniami i przekształceniami.

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Niektóre fragmenty tego rozumowania nie są potrzebne ale zostawiam je aby pokazać ogólną strategię na trego typu zadania.

Mamy zatem 3 cykliczne i symetryczne wyrażenia (w sensie że gdyby zamienić a i b, b i c, bądź a i c to otrzymamy takie same wyrażenia. Przydatne czasem albo by móc zrobić jakieś założenia np. które jest największe z nich bądź do szybszego obliczania współczynników przy wymnażaniu lub stwierdzania że jeśli coś zachodzi dla jednego elementu to analogicznie możemy to stwierdzić dla innego)
Ponadto widać, że a, b i c występują w nich kolejno w 1, 2 i 3 stopniu.

Zauważ że tutaj ciekawe rzeczy mogą wychodzić gdy przyrównamy ze sobą wyrażenia tego samego stopnia.

Proponuję zatem poeksperymentować z tymi zależnościami:[tex]1)\ (a+b+c)^2=1^2=1=a^2+b^2+c^2\\ 2)\ (a+b+c)^3=1^3=1=a^3+b^3+c^3\\3)\ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3[/tex]

Czyli

1) [tex]a^2 + 2 a b + 2 a c + b^2 + 2 b c + c^2=a^2+b^2+c^2[/tex]

2) [tex]a^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 a b^2 + 6 a b c + 3 a c^2 + b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + c^3=a^3+b^3+c^3[/tex]

3) [tex]a^3 + a^2 b + a^2 c + a b^2 + a c^2 + b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3=a^3+ b^3 + c^3[/tex]

Z 1) dostaniesz po wymnożeniu i przeniesieniu wyrazów na jedną stronę otrzymujesz 2ab+2ac+2bc=0

Z 3) dostajesz z kolei [tex]a^2 b + a^2 c + a b^2 + a c^2 + b^2 c + b c^2=0[/tex]

Z 2) dostajesz z kolei [tex]3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 a b^2 + 6 a b c + 3 a c^2 + 3 b^2 c + 3 b c^2 = 0[/tex]

Tak jak 1) się nam niestety nie przyda tutaj do niczego (ale w niektórych tego typu zadaniach może okazać się przydatna).

Z 2) i 3) mamy jednak dość ciekawe wnioski. Zauważ, że wystarczy odjąć stronami 3-krotność wniosków z 2) od wniosków z 3) by dostać 6abc = 0, czyli abc = 0. (znaczy to przy okazji, że a, b lub c jest równe 0)