Ćwiczenie 4 W okrąg o równaniu (x-2)² + y² = 25 wpisano kwadrat. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego kwadratu, jeśli wiadomo, że jedna z jego przekątnych jest zawarta w prostej 4x - 3y = 8.
proszę o pomoc
proszę o pomoc
Odpowiedź:
[tex]A=(-1,-4)\qquad B=(-2,3)\qquad C=(5,4)\qquad D=(6,-3)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex](x-2)^2+y^2=25[/tex]
Odczytajmy środek i promień okręgu.
[tex]S=(2,0)\qquad r=\sqrt{25}=5[/tex]
Skoro mamy podane równanie prostej zawierającej jedną z przekątnych kwadratu, to możemy wyznaczyć dwa wierzchołki kwadratu (po przekątnej), rozwiązując układ równań.
[tex]\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+y^2=25\\4x-3y=8\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+y^2=25\\-3y=-4x+8\ |:(-3)\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+y^2=25\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+(\frac{4}{3}x-\frac{8}{3})^2=25\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4+\frac{16}{9}x^2-\frac{64}{9}x+\frac{64}{9}=25\ |*9\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}9x^2-36x+36+16x^2-64x+64=225\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}25x^2-100x-125=0\ |:25\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4x-5=0\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\end{array}\right\\\\\Delta=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36\\\sqrt\Delta=6\\x_1=\frac{4-6}{2}=-1\\x_2=\frac{4+6}{2}=5[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}x=-1\\y=\frac{4}{3}*(-1)-\frac{8}{3}\end{array}\right\quad\vee\quad \left\{\begin{array}{l}x=5\\y=\frac{4}{3}*5-\frac{8}{3}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}x=-1\\y=-4\end{array}\right\quad\vee\quad \left\{\begin{array}{l}x=5\\y=4\end{array}\right[/tex]
Zatem mamy dwa wierzchołki kwadratu:
[tex]A=(-1,-4)\qquad C=(5,4)[/tex]
Aby wyznaczyć pozostałe dwa wierzchołki, pamiętajmy, że przekątne kwadratu są prostopadłe i przechodzą przez środek okręgu opisanego. Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do podanej w zadaniu prostej i przechodzącej przez środek okręgu.
Przekształćmy daną prostą do postaci kierunkowej.
[tex]4x-3y=8\\\\-3y=-4x+8\ |:(-3)\\\\y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}[/tex]
Szukamy prostej prostopadłej postaci
[tex]y=ax+b[/tex]
Proste prostopadłe mają przeciwne i odwrotne współczynniki, więc
[tex]a=-\frac{3}{4}[/tex]
Prosta prostopadła przechodzi przez środek okręgu, więc można podstawić jego współrzędne, aby policzyć b.
[tex]0=-\frac{3}{4}*2+b\\\\0=-\frac{3}{2}+b\\\\b=-\frac{3}{2}[/tex]
Zatem prosta prostopadła ma równanie:
[tex]y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}[/tex]
Posobnie jak z punktami A i C, pozostałe punkty wyznaczymy, rozwiązując układ równań.
[tex]\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+y^2=25\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2})^2=25\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2+(\frac{3}{4}x-\frac{3}{2})^2=25\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4x+4+\frac{9}{16}x^2-\frac{9}{4}x+\frac{9}{4}=25\ |*16\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}16x^2-64x+64+9x^2-36x+36=400\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}25x^2-100x-300=0\ |:25\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4x-12=0\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\Delta=(-4)^2-4*1*(-12)=16+48=64\\\sqrt\Delta=8\\x_1=\frac{4-8}{2*1}=-2\\x_2=\frac{4+8}{2*1}=6[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=-\frac{3}{4}*(-2)+\frac{3}{2}\end{array}\right\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}x=6\\y=-\frac{3}{4}*6+\frac{3}{2}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=3\end{array}\right\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}x=6\\y=-3\end{array}\right[/tex]
Zatem mamy dwa kolejne wierzchołki kwadratu:
[tex]B=(-2,3)\qquad D=(6,-3)[/tex]