Question

Walec stacza się bez poślizgu z równi o wysokości h=30cm i długości l=50cm. Oblicz prędkość walca na dole równi jeśli na szczycie znajdowała się w spoczynku. Oblicz ile musi wynosić współczynnik tarcia aby walec staczał się bez poślizgu.

Answer 1

Prędkość v na dole równi można wyliczyć na przykład z zasady zachowania energii mechanicznej:

Ep = Ek' + Ek"

m·g·h = m·v²/2 + I·ω²/2     ,

gdzie moment bezwładności walca  I = m·R²/2 , a związek pomiędzy prędkością kątową i liniową  ω = v/R

m·g·h = m·v²/2 + (m·R²/2)·(v/R)²/2

m·g·h = m·v²/2 + m·v²/4

g·h = 3·v²/4

v = √(4·g·h/3) = √(4·9.81·0.3/3) = 1.981 m/s ≈ 2 m/s

Natomiast występującą siłę tarcia T określimy korzystając z równań II zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego:

m·a = m·g·sinα - T       i       I·ε = T·R     , gdzie  podobnie jak wyżej ε = a/R

m·a = m·g·sinα - T       i       (m·R²/2)·(a/R) = T·R

m·a = m·g·sinα - T       i       m·a/2= T

2·T = m·g·sinα - T

3·T = m·g·sinα

T = (1/3)·g·sinα

Siła ta nie może być większa niż maksymalna możliwa siła tarcia statycznego:   T ≤ μ·N

T ≤ μ·m·g·cosα

(1/3)·g·sinα ≤ μ·m·g·cosα

μ ≥ (1/3)·sinα/cosα

μ ≥ (1/3)·tgα        ,       gdzie  tgα = h/x = h/√(L² - h²)

μ ≥ (1/3)·h/√(L² - h²)

μ ≥ (1/3)·0.3/√(0.5² - 0.3²)

μ ≥ 0.25