W układzie współrzędnych wyznaczono dwa okręgi: O_1: x^2 + y^2 = 100 i O_2: (x - 36)^2 + y^2 = 100 Okrąg O_3 o promieniu 17 i środku leżącym na osi OX jest styczny do jednego z tych dwóch okręgów w punkcie A i przecina drugi okrąg w punktach B i C. Wyznacz obwód trójkąta ABC.
Pole trójkąta ABC jest równe 256[j²].
Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a; b) i promieniu r ma postać:
[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]
Rozwiązanie:
W układzie współrzędnych wyznaczono dwa okręgi:
[tex]\boxed{O_1=x^2+y^2=100}[/tex]
Ze wzoru odczytujemy, że jest to okrąg o środku w punkcie (0; 0) i promieniu 10.
Okrąg ten przecina oś OX w punktach odległych o 10 jednostek od środka tego okręgu, więc w punktach (-10; 0) oraz (10; 0)
[tex]\boxed{O_2=(x-36)^2+y^2=100}[/tex]
Ze wzoru odczytujemy, że jest to okrąg o środku w punkcie (36; 0) i promieniu 10.
Okrąg ten przecina oś OX w punktach odległych o 10 jednostek od środka tego okręgu, więc w punktach (26; 0) oraz (46; 0).
O okręgu O₃ wiemy, że jego promień ma długość 17, jego środek leży na osi OX i jest styczny do jednego z tych okręgów w punkcie A, a drugi punkt przecina w punktach B i C.
Zadanie należy rozwiązać dla 2 przypadków:
I. Okrąg O₃ jest styczny do okręgu O₁.
W takim przypadku, środek okręgu O₃ będzie leżał pomiędzy środkami okręgów O₁ i O₂, lecz będzie odległy od punktu przecięcia okręgu O₁ z dodatnią półosią OX o 17 jednostek, a co za tym idzie, punktem styczności będzie punkt przecięcia okręgu O_1 z dodatnią półosią OX.
[tex]\underline{\bold{A=(10; 0)}}[/tex]
Wyznaczamy środek okręgu O³:
[tex]S=(10+17; 0)\\\\\underline{\bold{S_3=(27; 0)}}[/tex]
Wyznaczamy równanie okręgu:
[tex]O_3: (x-27)^2+y^2=17^2\\\\\underline{\bold{O_3: (x-27)^2+y^2=289}}[/tex]
Wyznaczamy punkty przecięcia okręgu O₂ i O₃.
[tex]\left\{\begin{array}{lll}(x-36)^2+y^2=100&|&-(x-36)^2\\\\(x-27)^2+y^2=289&|&-(x-27)^2\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}y^2=100-(x-36)^2\\\\y^2=289-(x-27)^2\end{array}\right.\\\\[/tex]
[tex]\begin{array}{lll} 100-(x-36)^2=289-(x-27)^2\\\\100-(x^2-72x+1296)=289-(x^2-54x+729)\\\\100-x^2+72x-1296=289-x^2+54x-729\\\\-x^2+72x-1196=-x^2+54x-440\\\\72x-1196=54x-440&|&-54x\\\\72x-54x-1196=-440&|&+1196\\\\18x=756&|&:18\\\\x=42\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{lll} y^2=100-(42-36)^2\\\\y^2=100-6^2\\\\y^2=100-36\\\\y^2=64&|&\sqrt{}\\\\y=8 \wedge y=-8\end{array}[/tex]
Zatem punkty przecięcia okręgu O₃ i okręgu O₂ mają współrzędne:
[tex]\underline{\bold{B=(42; 8),\:\:C=(42; -8)}}[/tex]
Punkty B i C leżą na jednej prostej x=42. Przyjmijmy, że jest podstawą trójkąta ABC. Obliczmy długość tego odcinka:
[tex]a=|BC|=\sqrt{(42-42)^2+(-8-8)^2}=\sqrt{(-16)^2}=16[/tex]
Wysokością trójkąta jest odległość punktu A do odcinka BC zawartego w prostej x=42, zatem:
[tex]h=42-10=32[/tex]
Wyznaczamy pole trójkąta ABC:
[tex]P=\dfrac{16\cdot 32}2\\\\P=8\cdot 32\\\\\boxed{\bold{P=256[j^2]}}[/tex]
I. Okrąg O₃ jest styczny do okręgu O₂.
W takim przypadku, środek okręgu O₃ będzie leżał pomiędzy środkami okręgów O₁ i O₂, lecz będzie odległy od punktu przecięcia okręgu O₂ z osią OX (punkt bliższy początkowi układu współrzędnych) o 17 jednostek, a co za tym idzie, punktem styczności będzie punkt przecięcia okręgu O₂ z osią OX.
[tex]\underline{\bold{A=(26; 0)}}[/tex]
Wyznaczamy środek okręgu:
[tex]S=(26-17; 0)\\\\\underline{\bold{S_3=(9; 0)}}[/tex]
Wyznaczamy równanie okręgu:
[tex]O_3: (x-9)^2+y^2=17^2\\\\\underline{\bold{S_3: (x-9)^2+y^2=289}}[/tex]
Wyznaczamy punkty przecięcia okręgu O₁ i O₃.
[tex]\left\{\begin{array}{lll}(x-36)^2+y^2=100&|&-(x-36)^2\\\\(x-27)^2+y^2=289&|&-(x-27)^2\end{array}\right.\\\\\\\left\{\begin{array}{lll}y^2=100-(x-36)^2\\\\y^2=289-(x-27)^2\end{array}\right.\\\\[/tex]
[tex]\begin{array}{lll}100-x^2=289-(x-9)^2\\\\100-x^2=289-(x^2-18x+81)\\\\100-x^2=289-x^2+18x-81\\\\100-x^2=-x^2+18x+208&|&-208\\\\18x=108&|&:18\\\\x=-6\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{lll} y^2=100-(-6)^2\\\\y^2=100-36\\\\y^2=64&|&\sqrt{}\\\\y=8 \wedge y=-8\end{array}[/tex]
Zatem punkty przecięcia okręgu O₃ i okręgu O₁ mają współrzędne:
[tex]\underline{\bold{B=(-6; 8),\:\:C=(-6; -8)}}[/tex]
Punkty B i C leżą na jednej prostej x=-6. Przyjmijmy, że jest podstawą trójkąta ABC. Obliczmy długość tego odcinka:
[tex]a=|BC|=\sqrt{(-6+6)^2+(-8-8)^2}=\sqrt{(-16)^2}=16[/tex]
Wysokością trójkąta jest odległość punktu A do odcinka BC zawartego w prostej x=-6, zatem:
[tex]h=26-(-6)=26+6=32[/tex]
Wyznaczamy pole trójkąta ABC:
[tex]P=\dfrac{16\cdot 32}2\\\\P=8\cdot 32\\\\\boxed{\bold{P=256[j^2]}}[/tex]