Question

W trójkącie równobocznym ABC wysokości CD oraz BE przecinają się w punkcie S. Wyznacz stosunek pola pięciokąta ECBDS do pola czworokąta ADSE.
Bardzo Proszę O Pomoc!

Answer 1

Odpowiedź:

2 : 1

Szczegółowe wyjaśnienie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Sposób 1.

Policzmy pole pięciokąta ECBDS. Zauważmy, że pole tego pięciokąta jest równe sumie pól trójkątów BDC i CES. Pole trójkąta BDC jest połową pola całego trójkąta równobocznego, więc:

[tex]P_{BDC}=\frac{1}{2}P_{ABC}=\frac{1}{2}*\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{8}[/tex]

Aby policzyć pole trójkąta CES, skorzystajmy z faktu, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1 : 2, więc

[tex]|ES|=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}*\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}[/tex]

Stąd pole trójkąta CES wynosi:

[tex]P_{CES}=\frac{1}{2}*|CE|*|ES|=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}a*\frac{a\sqrt3}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{24}[/tex]

Zatem pole pięciokąta ECBDS wynosi:

[tex]P_{ECBDS}=P_{BDC}+P_{CES}=\frac{a^2\sqrt3}{8}+\frac{a^2\sqrt3}{24}=\frac{3a^2\sqrt3}{24}+\frac{a^2\sqrt3}{24}=\frac{4a^2\sqrt3}{24}=\frac{a^2\sqrt3}{6}[/tex]

Pole czworokąta ADSE policzymy jako różnicę pól trójkąta równobocznego i pięciokąta ECBDS.

[tex]P_{ADSE}=P_{ABC}-P_{ECBDS}=\frac{a^2\sqrt3}{4}-\frac{a^2\sqrt3}{6}=\frac{3a^2\sqrt3}{12}-\frac{2a^2\sqrt3}{12}=\frac{a^2\sqrt3}{12}[/tex]

Ostatecznie stosunek pola pięciokąta ECBDS do pola czworokąta ADSE wynosi:

[tex]\frac{P_{ECBDS}}{P_{ADSE}}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{6}}{\frac{a^2\sqrt3}{12}}=\frac{a^2\sqrt3}{6}*\frac{12}{a^2\sqrt3}=\frac{1}{1}*\frac{2}{1}=2[/tex]

Stosunek ten można zapisać jako 2 : 1.

Sposób 2.

Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą boki, na które padają, na dwa równe odcinki, a ponadto dzielą kąty przy wierzchołkach, z których wychodzą, na dwa kąty równej miary (nieformalnie można powiedzieć, że wysokości są w pewnym sensie symetralnymi boków i dwusiecznymi kątów).

Po dorysowaniu trzeciej wysokości AF trójkąt ABC został podzielony na 6 przystających trójkątów prostokątnych. Przystawanie tych trójkątów wynika z cechy kbk, bo wszystkie są prostokątne, mają kąt o mierze 30° (bo wysokości podzieliły kąty 60° na dwa równe kąty) oraz mają równe boki między kątem prostym a kątem 30° (bo są one równe połowie boku trójkąta równobocznego).

Zauważmy teraz, że na pięciokąt ECBDS składają się 4 takie trójkąty, a na czworokąt ADSE składają się 2 takie trójkąty, więc stosunek pola pięciokąta ECBDS do pola czworokąta ADSE wynosi 4 : 2 czyli 2 : 1.