Question

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 1 a druga 3 dwusieczna kąta między dwoma najdłuższymi bokami dzieli najkrótszy na dwie części. Podaj długość krótszej z tych części.

Answer 1

Odpowiedź:

Długość krótszej części wynosi [tex]\frac{3\sqrt{10} }{10}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Niech x-długość przeciwprostokątnej

Z tw. Pitagorasa

x²=1²+3²

x²=10

x=[tex]\sqrt{10}[/tex]

Niech D-punkt przecięcia się dwusiecznej z krótszą przyprostokątną

Niech |AD|=y

Ponieważ |AD|+|DC|=1, stąd |DC|=y-1

Z tw. o dwusiecznej

[tex]\frac{\sqrt{10} }{1-y} =\frac{3}{y}[/tex]

[tex]\sqrt{10}[/tex]y=3(1-y)

[tex]\sqrt{10}[/tex]y=3-3y

y([tex]\sqrt{10}[/tex]+3)=3

y=[tex]\frac{3}{\sqrt{10}+3 }[/tex]=[tex]\frac{3}{\sqrt{10} }+1[/tex]=[tex]\frac{3\sqrt{10} }{10} +1[/tex]

Jeżeli y=[tex]\frac{3\sqrt{10} }{10} +1[/tex]

to y-1=  [tex]\frac{3\sqrt{10} }{10}[/tex]