Question

W trojkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm. Oblicz:

a) długość odcinka DE symetralnej boku BC, zawartego w trojkącie ABC,

b) długość odcinka CF dwusiecznej kąta ACB.

Answer 1

Odpowiedź:

a )

I BC I² = 6² + 8² = 100

I BC I = 10

więc I DB I = 0,5*10 = 5

oraz

[tex]\frac{5}{x} = \frac{8}{6}[/tex]

8 x = 5*6 = 30  / : 8

x = 3,75

I DE I = 3,75 cm

===================

b )

I AB I = a + b = 8  ⇒   b =  8 - a

Z tw. o dwusiecznej mamy

[tex]\frac{a}{6} = \frac{8 - a}{10}[/tex]

10 a = 6*(8 - a) = 48 - 6 a

16 a = 48

a = 3

-----------

I CF I² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45 = 9*5

I C F I = 3√5

Odp.  I CF I = 3√5 cm

========================

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Verified answer

a)  |DE| = 3,75 cm

b)  |CF| = 3√5 cm

Symetralna boku trójkąta (odcinka)

to prosta prostopadła do niego i przechodząca przez jego środek, więc

|BD| = 0,5|BC|

i mamy:

•  |∡ABC| = |∡DBE|  {to ten sam kąt}
•  |∡BDE| = |∡BAC|  {= 90°}
•  |∡BED| = 90°- |∡DBE| = 90° - |∡ABC| = |∡ACB|

Zatem, z warunku kąt-kąt-kąt,

trójkąt BDE jest podobny do trójkąta ABC

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy:

[tex]|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2\\\\|BC|^2=6^2+8^2\\\\|BC|^2=100\\\\BC=10\,cm[/tex]

Czyli:    |BD| = 0,5·10 = 5 cm

A skoro ΔBDE~ΔABC, to:

[tex]\dfrac{|BD|}{|AB|}=\dfrac{|DE|}{|AC|}\\\\\dfrac58=\dfrac{|DE|}6\qquad\ /\cdot6\\\\|DE|=3{,}75\ cm[/tex]

Dwusieczna kąta

to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta i dzieląca go na dwa jednakowe kąty

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok trójkąta na odcinki, których stosunek jest taki sam jak stosunek boków tworzących kąt.

Stąd:

           [tex]\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac{|AC|}{|BC|}\\\\\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac6{10}\qquad\ /\cdot|BF|\\\\|AF|=0,6|BF|\\\\\\|AB|=|AF|+|BF|\\\\8=0,6|BF|+|BF|\\\\1{,}6|BF|=8\qquad/:1{,}6\\\\|BF|=5\ cm\\\\\\|AF|=0,6\cdot5=3\, cm[/tex]

Zatem,

z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACF:

[tex]|AF|^2+|AC|^2=|CF|^2\\\\3^2+6^2=|CF|^2\\\\|CF|^2=9+36\\\\|CF|=\sqrt{45}=3\sqrt5\ cm[/tex]