Question

W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono dwie wysokości CD i AE. Wiadomo, że |DB|=2,5cm, |CD|=5cm i |AE|=4cm. Ile wynosi |EB|? ​

Answer 1

Szczegółowe wyjaśnienie:

Pierwszym krokiem jest narysowanie trójkąta i oznaczenie danych na rysunku:

Następnie wykorzystamy fakt, że punkt przecięcia dwóch wysokości dzieli każdą z nich na dwa odcinki, których długości są proporcjonalne do długości odcinków podstawy.

Zauważmy, że trójkąt ADE jest podobny do trójkąta ABC, a trójkąt BDC jest podobny do trójkąta ABC. Z tego wynika, że:

|DE|/|BC| = |AE|/|AB|    oraz   |DC|/|AB| = |BD|/|BC|

Podstawiając dane z zadania, mamy:

|DE|/|BC| = 4/|AB|    oraz   5/|AB| = 2,5/|BC|

Możemy teraz wyznaczyć |BC| z drugiego równania:

5/|AB| = 2,5/|BC|

|BC| = (2,5*|AB|)/5

|BC| = 0,5*|AB|

Podstawiając to do pierwszego równania, mamy:

|DE|/(0,5*|BC|) = 4/|AB|

|DE|/|BC| = 8/|AB|

Podstawiając kolejny raz, otrzymujemy:

8/|AB| = 4/|EB|

|EB| = (4*|AB|)/8

|EB| = 0,5*|AB|

Teraz możemy wyznaczyć |AB| z drugiego równania:

5/|AB| = 2,5/|BC|

5/|AB| = 2,5/(0,5*|AB|)

5/|AB| = 5/|AB|

|AB|^2 = 25

|AB| = 5

Podstawiając to do wzoru na |EB|, otrzymujemy:

|EB| = 0,5*|AB|

|EB| = 0,5*5

|EB| = 2,5

Odpowiedź:

|EB| = 2,5 cm.