Question

W trójkącie ABC kąt ACB jest równy 120 stopni. Dwusieczna tego kąta przecina bok AB w punkcie D. Wiedząc, że BC=√7 oraz AC=2√7 oblicz długość odcinka AD.

Proszę o wyjaśnienie i rozpisanie!

Answer 1

Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Dwusieczna to linia, która dzieli dany kąt na dwa równe kąty. Oznaczmy kąt CAD jako α i kąt CBD jako β.

Ponieważ dwusieczna dzieli kąt ACB na dwa równe kąty, mamy α = β = 120 stopni / 2 = 60 stopni.

Teraz możemy wykorzystać twierdzenie sinusów w trójkącie ACD, aby obliczyć długość odcinka AD.

Twierdzenie sinusów mówi, że w trójkącie ABC, gdzie przeciwprostokątna to a, a przyległe b, a przeciwległe c, stosunek długości przeciwnika do sinusów odpowiednich kątów jest stały:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Teraz mamy trójkąt ACD, gdzie:

AD to przeciwprostokątna,

α to przyległy kąt do AD,

AC to przeciwległa strona do kąta α.

Podstawmy nasze dane:

AD/sin(60 stopni) = 2√7/sin(120 stopni)

Teraz obliczmy sinus 60 stopni i sinus 120 stopni:

sin(60 stopni) = √3/2

sin(120 stopni) = √3/2

Podstawiamy te wartości:

AD/ (√3/2) = (2√7)/ (√3/2)

Teraz pozbywamy się ułamków w mianowniku, mnożąc przez 2/√3 (czyli pierwiastek z 3/3):

AD/ (√3/2) * (2/√3) = (2√7)/ (√3/2) * (2/√3)

Teraz możemy uprościć:

AD = (4√7)/(√3/2)

Teraz obliczmy AD:

AD = (4√7)/(√3/2)

Teraz możemy pomnożyć górny i dolny ułamek przez √3, aby pozbyć się ułamków w mianowniku:

AD = (4√7 * √3) / (2 * √3)

Uprośćmy to:

AD = (4√21) / (2√3)

Teraz możemy jeszcze uprościć, dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez 2:

AD = (2√21) / √3

Teraz możemy wymnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez √3, aby pozbyć się pierwiastka w mianowniku:

AD = (2√21 * √3) / (√3 * √3)

Uprośćmy to:

AD = (2√63) / 3

Teraz możemy jeszcze uprościć pierwiastek:

AD = (2√(3 * 3 * 7)) / 3

Ponieważ √(3 * 3) = 3, możemy to podać:

AD = (2 * 3√7) / 3

Teraz możemy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik przez 2:

AD = (3√7) / 3

Teraz możemy uprościć jeszcze bardziej, dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez 3:

AD = √7

Ostatecznie długość odcinka AD wynosi √7.