W trójkącie ABC kąt ACB jest równy 120 stopni. Dwusieczna tego kąta przecina bok AB w punkcie D. Wiedząc, że BC=√7 oraz AC=2√7 oblicz długość odcinka AD.
Proszę o wyjaśnienie i rozpisanie!
Proszę o wyjaśnienie i rozpisanie!
Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Dwusieczna to linia, która dzieli dany kąt na dwa równe kąty. Oznaczmy kąt CAD jako α i kąt CBD jako β.
Ponieważ dwusieczna dzieli kąt ACB na dwa równe kąty, mamy α = β = 120 stopni / 2 = 60 stopni.
Teraz możemy wykorzystać twierdzenie sinusów w trójkącie ACD, aby obliczyć długość odcinka AD.
Twierdzenie sinusów mówi, że w trójkącie ABC, gdzie przeciwprostokątna to a, a przyległe b, a przeciwległe c, stosunek długości przeciwnika do sinusów odpowiednich kątów jest stały:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Teraz mamy trójkąt ACD, gdzie:
AD to przeciwprostokątna,
α to przyległy kąt do AD,
AC to przeciwległa strona do kąta α.
Podstawmy nasze dane:
AD/sin(60 stopni) = 2√7/sin(120 stopni)
Teraz obliczmy sinus 60 stopni i sinus 120 stopni:
sin(60 stopni) = √3/2
sin(120 stopni) = √3/2
Podstawiamy te wartości:
AD/ (√3/2) = (2√7)/ (√3/2)
Teraz pozbywamy się ułamków w mianowniku, mnożąc przez 2/√3 (czyli pierwiastek z 3/3):
AD/ (√3/2) * (2/√3) = (2√7)/ (√3/2) * (2/√3)
Teraz możemy uprościć:
AD = (4√7)/(√3/2)
Teraz obliczmy AD:
AD = (4√7)/(√3/2)
Teraz możemy pomnożyć górny i dolny ułamek przez √3, aby pozbyć się ułamków w mianowniku:
AD = (4√7 * √3) / (2 * √3)
Uprośćmy to:
AD = (4√21) / (2√3)
Teraz możemy jeszcze uprościć, dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez 2:
AD = (2√21) / √3
Teraz możemy wymnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez √3, aby pozbyć się pierwiastka w mianowniku:
AD = (2√21 * √3) / (√3 * √3)
Uprośćmy to:
AD = (2√63) / 3
Teraz możemy jeszcze uprościć pierwiastek:
AD = (2√(3 * 3 * 7)) / 3
Ponieważ √(3 * 3) = 3, możemy to podać:
AD = (2 * 3√7) / 3
Teraz możemy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik przez 2:
AD = (3√7) / 3
Teraz możemy uprościć jeszcze bardziej, dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez 3:
AD = √7
Ostatecznie długość odcinka AD wynosi √7.