Question

w trapezie równoramiennym abcd dane są podstawy ab = 7 pierwiastków z 2 cd = 5 pierwiastków z 2 a ramie ma długość 2 oblicz sinus kąta acb

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\sin\alpha=\frac{7\sqrt{74}}{74}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Policzmy długość odcinka [tex]x[/tex].

[tex]x=\frac{7\sqrt2-5\sqrt2}{2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2[/tex]

Policzmy cosinus kąta [tex]\beta[/tex].

[tex]\cos\beta=\frac{x}{|BC|}=\frac{\sqrt2}{2}[/tex]

Stąd wniosek, że [tex]\beta=45^\circ[/tex], więc

[tex]\sin\beta=\frac{\sqrt2}{2}[/tex]

Policzmy długość odcinka AC z tw. cosinusów.

[tex]|AC|^2=|BC|^2+|AB|^2-2*|BC|*|AB|*\cos\beta\\|AC|^2=2^2+(7\sqrt2)^2-2*2*7\sqrt2*\frac{\sqrt2}{2}\\|AC|^2=4+98-28*\frac{2}{2}\\|AC|^2=102-28\\|AC|^2=74\\|AC|=\sqrt{74}[/tex]

Aby wyznaczyć sinusu kąta [tex]\alpha[/tex], policzymy pole trójkąta ABC na dwa sposoby.

[tex]P=\frac{1}{2}*|BC|*|AB|*\sin\beta=\frac{1}{2}*2*7\sqrt2*\frac{\sqrt2}{2}=7*\frac{2}{2}=7\\P=\frac{1}{2}*|BC|*|AC|*\sin\alpha=\frac{1}{2}*2*\sqrt{74}*\sin\alpha=\sqrt{74}\sin\alpha[/tex]

Ponieważ jest to pole tego samego trójkąta, więc

[tex]\sqrt{74}\sin\alpha=7\ |:\sqrt{74}\\\sin\alpha=\frac{7}{\sqrt{74}}\\\sin\alpha=\frac{7}{\sqrt{74}}*\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}\\\sin\alpha=\frac{7\sqrt{74}}{74}[/tex]