Question

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna ma długość równą długości dłuższego ramienia. Oblicz miary kątów wewnętrznych trapezu, jeżeli wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego tworzy z ramieniem kąt 50 stopni.

Answer 1

Odpowiedź:

Niech d oznacza długość dłuższego ramienia trapezu, a h - jego wysokość. Wiadomo, że krótsza przekątna ma długość d.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że długość drugiej przekątnej wynosi:

sqrt(d^2 + h^2)

W trójkącie prostokątnym, którego jeden z kątów ma miarę 50 stopni, mamy:

tg(50) = h/d

h = d*tg(50)

Podstawiając do wzoru na drugą przekątną otrzymujemy:

sqrt(d^2 + (dtg(50))^2) = dsqrt(1 + tg^2(50))

Wysokość trapezu równa się d*tg(50), a jego pole wynosi:

P = ((a + b)h)/2 = ((2d + d)dtg(50))/2 = 3d^2tg(50)/2

Wysokość trapezu i długość jednej z podstaw tworzą trójkąt prostokątny, więc mamy:

sin(alpha) = h/sqrt(d^2 + h^2)

cos(alpha) = d/sqrt(d^2 + h^2)

gdzie alpha to miara kąta przy jednym z krótszych boków trapezu.

Stąd:

sin(alpha) = dtg(50)/sqrt(d^2 + d^2tg^2(50)) = dtg(50)/sqrt(d^2(1 + tg^2(50))) = tg(50)/sqrt(2)

cos(alpha) = 1/sqrt(1 + tg^2(50)) = cos(40)

W trapezie prostokątnym suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360 stopni, a kąt przy podstawie dłuższej ma miarę 90 stopni. Zatem:

alpha + alpha + 90 + 90 = 360

2alpha = 90

alpha = 45

Stąd kąty wewnętrzne trapezu wynoszą:

45, 135, 45, 135 stopni.