Question

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E jest środkiem ramienia AD (patrz rysunek).

Answer 1

Odpowiedź:

Stosunek pól to 1:2

Szczegółowe wyjaśnienie:

dla uproszczenia AB = a; CD = b

h -wysokość trapezu

z tw. Talesa wynika że wysokości trójkątów  ABE i CDE są równe i wynoszą h/2 (prowadzimy dodatkową prostą równoległą do podstaw przechodzącą przez punkt E)

pole trapezu

[tex]Pt= \frac{a+b}{2} *h[/tex]

Pole trójkąta ABE:

[tex]P_{ABE} =\frac{1}{2} *\frac{h}{2} *a=\frac{1}{4} ah[/tex]

Pole trójkąta CDE

[tex]P_{CDE} =\frac{1}{2} *\frac{h}{2} *b=\frac{1}{4} bh[/tex]

Pole trójkąta BCE to ple trapezu - pola dwóch trójkątów

[tex]P_{BCE} =\frac{1}{2} h(a+b)-\frac{1}{4} ah-\frac{1}{4} bh=\frac{1}{2} h(a+b)-\frac{1}{4} h(a+b)=\frac{1}{4} h(a+b)[/tex]

[tex]P_{CBE} /Pt= \frac{\frac{1}{4} h(a+b)}{\frac{1}{2} h(a+b)} =\frac{2}{4} =\frac{1}{2}[/tex]

Stosunek pól to 1:2