Question

W trapez równoramienny o podstawach a i b wpisano okrąg. Wyznacz promień tego okręgu.
​

Answer 1

Verified answer

[tex]r=\dfrac{\sqrt{ab}}2[/tex]

Promień okręgu wpisanego w trapez jest równy połowie wysokości trapezu.

Warunkiem wpisania okręgu w czworokąt jest, że sumy przeciwległych boków są równe, czyli:

                                     a + b = 2c    {c - długość ramienia}

Stąd:

        [tex]c=\dfrac{a+b}2[/tex]

W trapezie równoramiennym wysokości poprowadzone z wierzchołków krótszej podstawy "odcinają" po bokach dłuższej jednakowe odcinki (oznaczmy je x).

Czyli:

           [tex]x=\dfrac{|a-b|}2[/tex]

Zatem z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]h^2+x^2=c^2\\\\(2r)^2+\left(\dfrac{|a-b|}2\right)^2= \left(\dfrac{a+b}2\right)^2\\\\ 4r^2=\dfrac{a^2+2ab+b^2}4-\dfrac{a^2-2ab+b^2}4 \\\\ 4r^2=\dfrac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}4\\\\ 4r^2 = \dfrac{4ab}4\qquad/:4 \\\\ r^2=\dfrac{ab}4 \\\\\large\text{$r=\dfrac{\sqrt{ab}}2$}[/tex]