Question

W trapez równoramienny o kącie ostrym 60 stopni wpisano okrąg. Wyznacz stosunek obwodu trapezu do średnicy okręgu.

Answer 1

Stosunek obwodu trapezu do średnicy okręgu wynosi  [tex]\frac{8\sqrt{3} }{3}[/tex].

Rysunek pomocniczy w załączniku.

Jak obliczyć stosunek obwodu trapezu do długości średnicy?

Odcinek EC to długość dwóch promieni okręgu wpisanego (zobacz rysunek). trójkąt AEC jest prostokątny. Sinus kąta w tym trójkącie to stosunek boków EC i AC. Zapiszmy to jako:

[tex]sin60=\frac{EC}{AC}\\\\sin60=\frac{2r}{c}[/tex]

Wiemy, że wartość sinusa dla α = 60° jest równa [tex]\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]. Wyliczmy z tego równania literkę "c":

[tex]sin60=\frac{2r}{c}\\\\\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{2r}{c}\\c\sqrt{3}=4r\\ c=\frac{4}{\sqrt{3} } r[/tex]

Usuńmy niewymierność spod mianownika:

[tex]c=\frac{4}{\sqrt{3} }r *\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \\ c=\frac{4\sqrt{3} }{3 } r[/tex]

Bardzo ważną zależnością w tym zadaniu jest to, że jeśli w trapez możemy wpisać okrąg, to suma długości podstaw jest równa sumie długości dwóch ramion:

[tex]a+b=2c\\a+b=2*\frac{4\sqrt{3} }{3}r\\ a+b=\frac{8\sqrt{3} }{3}r[/tex]

Możemy zatem obliczyć teraz obwód tego trapezu:

Obw = a + b + 2c

Podstawiamy za wyrażenie "a + b" wartość wyliczoną wcześniej, czyli [tex]\frac{8\sqrt{3} }{3} r[/tex], a za "c" podstawiamy [tex]\frac{4\sqrt{3} }{3} r[/tex] :

[tex]Obw=\frac{8\sqrt{3} }{3}r + 2 * \frac{4\sqrt{3} }{3}r \\\\Obw=\frac{8\sqrt{3} }{3}r + \frac{8\sqrt{3} }{3}r\\\\Obw=\frac{16\sqrt{3} }{3} r[/tex]

Średnica tego okręgu to suma dwóch promieni czyli 2r. Zatem stosunek obwodu do średnicy zapiszemy jako:

[tex]\frac{\frac{16\sqrt{3} }{3} r}{2r} =\frac{16\sqrt{3} }{3}*\frac12=\frac{8\sqrt{3} }{3}[/tex]

#SPJ1