W szeregu ustawiamy losowo 4 kobiety i 5 mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
a) najpierw stoją mężczyźni
b) żadne dwie osoby tej samej płci nie stoją obok siebie
a) najpierw stoją mężczyźni
b) żadne dwie osoby tej samej płci nie stoją obok siebie
Odpowiedź:Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, musimy znać łączną liczbę możliwych permutacji w danym przypadku oraz liczbę permutacji sprzyjających zdarzeniu. Dla przypadku a) i b) musimy rozważyć różne sytuacje.
a) Prawdopodobieństwo, że najpierw stoją mężczyźni:
Mamy 9 osób, z czego 5 to mężczyźni. Pierwszą osobę możemy wybrać spośród 5 mężczyzn, drugą spośród pozostałych 4 mężczyzn, trzecią spośród 3 mężczyzn, a czwartą spośród 2 mężczyzn. Następnie ustawiamy kobiety, ale istnieje tylko jedna możliwość, ponieważ kobiety stoją na końcu.
Liczba permutacji sprzyjających zdarzeniu = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 120
Liczba wszystkich permutacji = 9!
Prawdopodobieństwo a) = Liczba permutacji sprzyjających / Liczba wszystkich permutacji
= 120 / 362,880
= 1/3,024
b) Prawdopodobieństwo, że żadne dwie osoby tej samej płci nie stoją obok siebie:
Rozważmy przypadki, w których kobiety i mężczyźni są ustawieni naprzemiennie (KMKMKMKMK) lub (MKMKMKMKM). W obu przypadkach kobiety i mężczyźni nie stoją obok siebie.
Liczba permutacji sprzyjających zdarzeniu = 2 * 5! * 4!
= 2 * 120 * 24
= 2,880
Liczba wszystkich permutacji = 9!
Prawdopodobieństwo b) = Liczba permutacji sprzyjających / Liczba wszystkich permutacji
= 2,880 / 362,880
= 1/126
Szczegółowe wyjaśnienie: