Question

W sześcianie o przekątnej równej 2, oraz sinusie 45 stopni znajdującym się między przekątną a podstawą został wpisany ostrosłup prawidłowy trójkątny wewnątrz którego znajduje się wpisana kula. Oblicz objętość tej kuli

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Nie jestem pewny, czy o to chodzi, ale jedyny ostrosłup prawidłowy trójkątny, który można wpisać w sześcian, to czworościan foremny.

d - przekątna sześcianu

a - krawędź sześcianu

b - krawędź czworościanu

H - wysokość czworościanu

r - promień kuli wpisanej w czworościan

d = 2

[tex]d = a\sqrt{3} \\\\2 = a\sqrt{3} \\\\ \\a = \frac{2}{\sqrt{3} } = \frac{2\sqrt{3} }{3} \\[/tex]

krawędź czworościanu = przekątna podstawy kwadratu

[tex]b = (\frac{2\sqrt{3} }{3}) * \sqrt{2} \\\\b = \frac{2\sqrt{6} }{3} \\[/tex]

promień kuli wpisanej w czworościan foremny = 1/4 wysokości czworościanu:

[tex]H = \frac{b*\sqrt{6} }{3} \\\\H = \frac{\frac{2\sqrt{6} }{3} * \sqrt{6} }{3} \\\\H = \frac{\frac{2\sqrt{36} }{3} }{3} \\\\H = \frac{2\sqrt{36} }{9} \\\\H = \frac{12}{9} \\\\H = \frac{4}{3}[/tex]

[tex]r = \frac{H}{4} \\\\r = \frac{4}{3} * \frac{1}{4} \\\\r = \frac{4}{12} \\\\r = \frac{1}{3}\\\\[/tex]