Question

W rombie ABCD dane są przekątne |AC| = 20 i |BD| = 15. Z wierzchołka kąta ostrego C tego rombu poprowadzono wysokości CE i CF. Oblicz różnicę pól czworokątów AECF i ABCD.

Answer 1

1. Sporządzamy rysunek poglądowy (załącznik).

2. Obliczamy pole rombu ABCD:

[tex]P=\frac{e \cdot f}{2} =\frac{20 \cdot 10}{2} =\frac{200}{2} =100 \ [j^2][/tex]

3. Korzystając z trójkąta ABG, który jest prostokątny, gdyż ma on kąt prosty ∡AGB (gdyż przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym), z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku |AB|:

[tex]a^2+b^2=c^2\\10^2+7,5^2=|AB|^2\\100+56,25=|AB|^2\\156,25=|AB|^2/\sqrt{} \\12,5=|AB|\\|AB|=12,5[/tex]

4. Znając pole rombu i długość jego podstawy obliczamy wysokość tego rombu |DH| opuszczoną na ten bok:

[tex]P = a \cdot h\\100 = 12,5 \cdot |DH| \ /:12,5\\8=|DH|\\|DH|=8[/tex]

5. Korzystając z trójkąta AHD, który jest prostokątny, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku |AH|:

[tex]a^2+b^2=c^2\\|AH|^2+|DH|^2=|AD|^2\\|AH|^2+8^2=12,5^2\\|AH|^2+64=156,25\\|AH|^2=156,25-64\\|AH|^2=92,25 \ /\sqrt{} \\|AH|=\sqrt{92,25}\\ |AH|=\sqrt{\frac{369}{4} }\\|AH|=\frac{\sqrt{369} }{\sqrt{4} } \\|AH|=\frac{\sqrt{9 \cdot 41} }{2} \\|AH|=\frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{41} }{2}\\|AH|=\frac{3\sqrt{41} }{2}[/tex]

*wszystkie boki w rombie są tej samej długości, dlatego |AB| = |AD|

6. Znając długość boku |FD| (jest równy |AH|) i długość boku |AF| (jest równy |DH|), obliczamy pole trójkąta AFD:

[tex]P=\frac{a \cdot h}{2} = \frac{|FD| \cdot |AF|}{2} =\frac{\frac{3\sqrt{41} }{_1\not2} \cdot \not8^4}{2} =\frac{^6\not12\sqrt{41} }{\not2_1} =6\sqrt{41} \ [j^2][/tex]

7. Pole trójkąta BEC jest równe polu trójkąta AFD, więc jest równe [tex]6\sqrt{41} \ [j^2][/tex].

8. Romb ABCD ma pole [tex]100 \ [j^2][/tex], a pole prostokąta AECF jest równe sumie pól rombu ABCD, trójkąta AFD i trójkąta BEC, czyli:

[tex]P_{AECF}=100+6\sqrt{41} +6\sqrt{41} =100+12\sqrt{41} \ [j^2][/tex]

9. Różnica pól czworokątów AECF i ABCD wynosi:

[tex]100+12\sqrt{41}-100=12\sqrt{41}[/tex]

10. Odpowiedź: Różnica pól czworokątów AECF i ABCD wynosi [tex]12\sqrt{41}[/tex].