Question

W prostopadłościanie obwód jednej podstawy jest równy 6, a pole powierzchni bocznej jest 3 razy większe od pola podstawy. Wyznacz wymiary tego prostopadłoscianu, aby jego objętość była największa.

Answer 1

x=-1.5

y=4.5

h=3

Prostopadłościan

Jest to graniastosłup,  którego ściany są prostokątem, a dowolne dwie ściany są równoległe, albo prostopadłe.

Najpierw narysujmy ten prostopadłościan - załącznik 1

Obwód podstawy jest równy 6, zatem możemy zapisać

x+x+y+y=6

2x+2y=6

x+y=3

Wiemy, że pole powierzchni bocznej ([tex]P_b[/tex]) jest 3 razy większe od pola podstawy, czyli

[tex]P_p[/tex] = xy

Zatem pole oczne jest równa

[tex]P_b[/tex]=3xy

Wiemy, również że pole boczne jest równa 2hy+2hx, zatem przyrównajmy do siebie:

3xy=2hy+2hx

3xy=2h(y+x)

3xy=2h*3

3xy=6h /:3

xy=2h

Zapisujemy wzór na objętość

V=xyh

Zapisujemy to w postaci funkcji.

V(h)=xyh=2h*h=2h²

Zauważamy, że jest to funkcja kwadratowa. Zatem największą wartość osiąga w wierzchołku funkcji p.

#SPJ1