w pojemniku maszyny losującej jest 6 kul z liczbami: 8,17,20,21,42,45. Losujemy za pomocą tej maszyny jedną liczbę. Jeśli jest ona nieparzysta, to otrzymujemy tyle punktów, ile jest równa ta liczba, a jesli parzysta - tracimy tyle punktów, ile wynosi połowa tej liczby. Oblicz wartość oczekiwaną liczby otrzymanych punktów.
[tex]\huge\boxed{EX=8}[/tex]
Wartość oczekiwana
Jeśli pewne zdarzenie może być zakończone efektami [tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] oraz do każdego ze zdarzeń mamy przypisane prawdopodobieństwo [tex]p_1,p_2,...,p_n[/tex], to wartością oczekiwaną nazywamy wartość wyrażenia:
[tex]EX=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n[/tex]
Pojęcie wartości oczekiwanej jest często wykorzystywane w teorii gier. Jeśli dla danej sytuacji mamy [tex]EX=0[/tex], to mówimy, że gra jest sprawiedliwa.
Rozwiązanie:
W pojemniku maszyny losującej jest 6 kul z liczbami: 8, 17, 20, 21, 42, 45. Losujemy za pomocą tej maszyny jedną liczbę. Jeśli jest ona nieparzysta, to otrzymujemy tyle punktów, ile jest równa ta liczba, a jeśli parzysta - tracimy tyle punktów, ile wynosi połowa tej liczby. Znajdziemy wartość oczekiwaną liczby otrzymanych punktów.
Prawdopodobieństwo wylosowania jednego z wyników - 8, 17, 20, 21, 42, 45 - wynosi [tex]\frac16=0,1(6)[/tex]. Dane opisane w zadaniu możemy zapisać w postaci tabeli:
[tex]\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}\cline{1-7}x_i&-4&17&-10&21&-21&45\\\cline{1-7}p_i&0,1(6)&0,1(6)&0,1(6)&0,1(6)&0,1(6)&0,1(6)\\\cline{1-7}\end{tabular}[/tex]
Zgodnie z powyższymi danymi wartość oczekiwana liczby punktów wynosi:
[tex]EX=\left(-4\right)\cdot\dfrac16+17\cdot\dfrac16+\left(-10\right)\cdot\dfrac16+21\cdot\dfrac16+\left(-21\right)\cdot\dfrac16+45\cdot\dfrac16=-\dfrac46+\dfrac{17}6-\\\\\dfrac{10}6+\dfrac{21}6-\dfrac{21}6+\dfrac{45}6=\dfrac{48}6=8[/tex]