W pierwszym pudełku są kule o numerach 1,3,5,6,8,10,12,13,15,17,19, a w drugim - kule o numerach 2,4,6,7,9,11,12,14,16. Losujemy dwie kule - po jednej z każdego pudełka.
a) na ile sposobów można w tym losowaniu otrzymać parę liczb, których suma jest nieparzysta?
b) do jednego z tych pudełek dołożono jedną kulę z pewnym numerem i teraz liczba możliwości wylosowania par opisanych w punkcie a) jest o 7 większa. Do każdego pudełka dołożono kulę i czy liczba na niej jest parzysta, czy nieparzysta?
a) na ile sposobów można w tym losowaniu otrzymać parę liczb, których suma jest nieparzysta?
b) do jednego z tych pudełek dołożono jedną kulę z pewnym numerem i teraz liczba możliwości wylosowania par opisanych w punkcie a) jest o 7 większa. Do każdego pudełka dołożono kulę i czy liczba na niej jest parzysta, czy nieparzysta?
Odpowiedź:
a) Aby otrzymać parę liczb, których suma jest nieparzysta, musimy wziąć pod uwagę przypadki, w których jedna z kul pochodzi z pudełka zawierającego parzyste liczby, a druga z pudełka zawierającego liczby nieparzyste.
Pierwsze pudełko zawiera kule o numerach: 1, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 19 (co stanowi 11 liczb). Drugie pudełko zawiera kule o numerach: 2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 16 (co również stanowi 11 liczb).
Teraz obliczmy liczbę możliwych par takich, że jedna kula pochodzi z każdego pudełka. Wybieramy jedną liczbę z pierwszego pudełka (11 możliwości) i jedną liczbę z drugiego pudełka (11 możliwości). Razem jest to 11 * 11 = 121 możliwych par.
Następnie spośród tych par liczb musimy wybrać te, których suma jest nieparzysta. Istnieje zasada, że suma dwóch liczb jest nieparzysta tylko wtedy, gdy jedna z nich jest nieparzysta, a druga parzysta. W pierwszym pudełku jest 6 parzystych liczb i 5 nieparzystych liczb, a w drugim pudełku jest 5 parzystych liczb i 6 nieparzystych liczb.
Dlatego liczba par, których suma jest nieparzysta, wynosi 6 * 6 (6 parzystych x 6 nieparzystych) + 5 * 5 (5 nieparzystych x 5 parzystych) = 36 + 25 = 61.
b) Jeśli do jednego z pudełek dodano kulę z pewnym numerem, a liczba możliwości wylosowania par opisanych w punkcie a) jest o 7 większa, to oznacza, że ta dodatkowa kula ma numer parzysty, ponieważ dodała 7 do liczby par o nieparzystej sumie.
Aby dowiedzieć się, do którego pudełka dodano kulę i czy liczba na niej jest parzysta czy nieparzysta, musimy wykonać następujące kroki:
1. Pierwsze pudełko ma 11 kul, a drugie pudełko ma 11 kul.
2. W jednym z tych pudełek dodano kulę z numerem parzystym (2, 4, 6, 12, 14, lub 16). Teraz to pudełko ma 12 kul, a drugie nadal ma 11 kul.
3. Dodatkowo, zwiększając liczbę możliwych par o 7, oznacza, że jest 7 par, w których jedna liczba pochodzi z pudełka z dodatkową kulą. Skoro mamy 7 dodatkowych par, muszą one być tworzone przez dodatkową kulę i jedną z 11 pozostałych kul w drugim pudełku.
4. Teraz, aby uzyskać 7 par, gdzie jedna liczba pochodzi z pudełka z dodatkową kulą, musimy wybrać jedną z 6 liczb parzystych i jedną z 11 liczb w drugim pudełku. To daje nam 6 * 11 = 66 par.
5. Dlatego dodatkowa kula jest numerem parzystym i została dodana do pierwszego pudełka.
Podsumowując, dodatkowa kula jest numerem parzystym, a została dodana do pierwszego pudełka.
Szczegółowe wyjaśnienie: